降落伞选择问题-数学建模

降落伞的选择问题组长：张瑜组员：杨璐组员：胡潇摘要本文讨论并确定了降落伞的最佳选购方案，在满足空投物资重量的前提下，使购买降落伞的费用最小。该问题是一个优化问题，以购买降落伞的费用最小构造目标函数，以救灾物资2000kg,5种不同半径的降落伞的最大载重量为限制条件，进行线性规划，建立优化模型。通过LinDo软件对模型进行求解，最终得出最佳方案为３m的降落伞数量为６个，其他半径的降落伞不予选购，以及最小费用为4793元。首先，我们需要计算各规格降落伞的价格，可知其价格由伞面费，绳索费，固定使用费三部分构成，以此进行计算。其次，我们需要计算出阻力系数，我们利用了两种方法确定出阻力系数为2.95747；之后，我们要确定不同半径的降落伞的最大载重量，通过之前计算出的速度与时间的关系式，推出速度与质量的关系，再确定质量与速度的关系，从而通过计算得出不同半径降落伞的最大载重量；最后列出目标函数和约束条件，进行线性规划，利用LinDo软件得出最终结果。总之，我们的模型在理论分析上提出了选择降落伞最优化，为选择合适的降落伞提供了可行的理论依据。关键字：优化方案、线性规划、微分方程、MATLAB,LINDO问题重述为了向灾区空投救灾物资，需要选择不同类型的降落伞。降落伞根据半径不同分为半径为2m、2.5m、3m、3.5m、4m五种型号，降落伞的造价由伞面费用，绳索费用和固定费用三部分组成。每个降落伞用长为1m的16跟绳索连接重物，重物位于球心正下方的球面处，降落伞在下降过程中除了受到重力的影响外，还受到空气的阻力。并且可以认为阻力的大小与降落伞的速度和伞的面积成正比。其阻力系数可由题中给出的数据确定,问题要求在满足空投物资重量的前提下，使购买降落伞的费用最小。（具体数据见附录中表格1，表格2）问题的提出为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20/ms。降落伞面为半径r的半球面，用每根长为1m的16根绳索连着载重m的物体位于球心正下方球面处，如图1所示。图1每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用由绳索总长度及单价4元/米决定；其他费用为200元。降落伞在降落的过程中受到了空气的阻力，为了确定阻力的大小，用半径3m、载重为300kg的降落伞从500m高度做降落实验，测得各时刻的高度。确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞半径多大，在满足空投要求的条件下，使费用最低。降落伞1m模型分析这是一个优化问题，所求目标函数是降落伞的总费用。针对这个问题我们主要分三部分来分析的。首先，计算各规格降落伞的价格，由已知其价格的三部分组成：伞面费，绳索费，固定使用费。伞面费为题目所给不同半径决定，绳索由长度决定，固定使用费为常数。其次，我们分析物资在投放过程中的受力情况。忽略了了其他因素影响，有牛顿第二定律分析可得，是物资受到向下的重力和向上的阻力。接下来的问题就是求出阻力系数。求阻力系数，我们用了两种方法。第一种：利用牛顿第二定律，得出速度关于时间的表达式，又由对速度的积分，得出高度与速度的关系，再用MATLAB作出时间与高度的关系图，分析图像作线性回归，利用MATLAB软件计算出阻力系数；第二种：求出的速度的表达式，用MATLAB软件做出速度与时间的关系图，分析可得出阻力系数的大小。另外，对于确定不同规格的降落伞最大载重量，利用给速度的关系式，逐步推出速度与质量的关系，进而求得最大载重量。最后，我们写出了目标函数，并且结合约束条件得出了线性规划，利用LINDO软件得出结果模型分析符号说明1ic(1,2,3,4,5;i)：分别表示购买的半径为2,2.5,3,3.5,4;r的降落伞的价格，单位(元)。2ic(1,2,3,4,5;i):分别表示购买半径为2,2.5,3,3.5,4r的降落伞的绳索的价格，单位(元)。3ic(1,2,3,4,5;i)：分别表示购买的半径为2,2.5,3,3.5,4;r的伞面面积，单位(m)。ic(1,2,3,4,5;i):分别表示购买一个半径为2,2.5,3,3.5,4;r的降落伞的各自总费用，单位(元)。(2,2.5,3,3.5,4)rMr：指的是半径2,2.5,3,3.5,4,r的最大载重量，单位(kg)。()vt:表示t时刻降落伞的速度单位(/ms)。s:表示降落伞的受力面积，单位(2m)。t:表示时间，单位(s)。k：表示空气阻力系数m:货物的质量，单位(kg)。g:重力加速度，单位(2/ms)。模型假设1.假设2000kg物资可以任意分割。2.假设在降落伞下落过程中只受到重力，和一个可以视为非重力因素共同作用下的合力空气阻力的影响，不考虑横向受力。3.假设绳索和伞面的质量忽略不计。4.假设在受力分析过程中，和下落过程中计算高度时，可将物资看做质点。5.假设降落伞的阻力与速度和面积的成绩成正比，其系数成为空气阻力系数，为常数。6.假设绳索的价格每米1元，每个降落伞固定费用是常数为200元。模型建立由模型分析可知，这是一个优化问题，要建立费用最小的目标函数，和以不同规格的降落伞总载重量大于等于2000kg作为约束条件，在LINDO软件中计算出不同规格降落伞的选择个数，得出一个最优方案。对此问题分三步进行：第一步：计算各规格单个降落伞的费用在建立目标函数时，总费用是各规格降落伞的个数和相应的单个降落伞的费用，所以首先要计算出各规格单个降落伞的费用。由题目可知，其价格ic由三部分组成，伞面费1ic，绳索费2ic，固定使用费3ic，而其中伞面费1ic为题目中所给的不同半径r决定，绳索费2ic由绳索长度和单位长度的价格决定，固定费3ic为常数由题目中所给表格1（见附录）及计算可得其费用：i2000kg23451ic(元)6517035066010002ic（元）1812262713173623ic（元）200200200200200ic（元）44659682211771562表格3其中，由于货物在球心正下方球面处，则绳索长度是2r第二步：计算阻力系数为表述不同规格总载重量大于等于2000kg这一条件，并求解降落伞速度满足的微分方程，方正中的重要参数——空气阻力系数是未知的，在此我们需要对已知表格2中的数据进行拟合，从而求出空气阻力系数。对降落伞进行受力分析见图1G=mgF=kvs货物图2由牛顿运动定律及假设有：mgfma(1)其中(a指下落过程中的加速度)即(0)0dvmgkvsmdtv(2)解之得()[1]kstmmgvteks(3)积分有：2222220()()tkstmmgtmgmgHtVtdteksksks即222()(1)kstmmgtmgHteksks(4)由假设将原实验表的数据变为：t036912151821242730()Ht03075128183236285340392445499表格4在matlab中作图可得：图3在MATLAB软件中输入以下程序：见（附录程序1）由图像可见H(t)~图像的后段几乎为线性关系，即后期几乎为匀速运动，则选择t=9s,以后的点作线性回归()Htptq(5)(其中,pq:计算过程中线性回归的系数)通过MATLAB软件拟合写出程序2（见附录程序2）可得：p=17.0667m/s,q=-18.4545m那么17/,18pmsqm由分析，则mgkvsvpt得2.959k另一个方面为了检验上述拟合是否高度近似，我们用下面的方法进行检验由(3)式可知()(1)kstmmgvteks(6)利用表格2的数据和(3)式，输入MATLAB软件中作v(t)~t图像可得：图417.9278mgks在9ts之后，作拟合，可得2.95147k在第一个方法中计算所得空气阻力系数k和此方法中计算的近似相等，可以看出第一个方法的拟合度是很高的。第三步：求各种规格降落伞的最大载重量在列约束条件时，不同规格总载重量大于等于2000kg，总载重量为不同规格降落伞的个数乘其相应的最大载重量得到，在此我们需要计算不同规格降落伞的最大载重量。由(3)式可知v(t)=(1)kstmmgeks这是下落速度的方程，而我们要求出降落伞最大载重量，在这里将参数转换，将t变为常量而将质量m视为变量，更容易求解。上式可写为：()vvm要求出最大载重量，需要得出m关于v是一个递增函数，那么在20/vms时，便可以得到安全范围内的最大载重量。即'()(1)()kstkstmmgmgkstvmeeksksmkstkstmmgggteeksksm''222()kstkstkstmmmgkstgtgtkstvmeeeksmmmm30kstmgtem，则''()0vm则()vvm为单调递增函数故()mmv也为单调递增函数由此可得当20/vms，每种规格降落伞取得最大载重量联立(3)式，(4)式，得222v(t)=(1)()(1)kstmkstmmgeksmgtmgHteksks(8)消去参数t,有222(1)()kvsmgmvmgHtksks(9)将2,2.5,3,3.5,4,r22sr，代入(9)式有：(2)M(2.5)M(3)M(3.5)M(4)M()Mr152.396238.119342.892466.713609.585()Sr25.132739.269956.548776.9690100.5310表格5其中((2,2.5,3,3.5,4)rMr指的是半径2,2.5,3,3.5,4,r的最大载重量)模型求解则所得线性规划为：根据购买降落伞的总费用最少可得出目标函数为：51miniiizcx1,2,3,4,5;i以采购的降落伞载重量之和不少于空投物资的总重量为约束条件：512000iiixM1,2,3,4,5;i决策条件为采购的各种规格的降落伞个数不为负，所以有：0ix且为整数i=1,2,3,4,5；由已知:1446c2596c3822c41177c51562c1152.396M2238.119M3342.892M4466.713M5609.585M带入数据则有：12345min44659682211771562zxxxxxST123415223834346761052000xxxxx且0ix且为整数i=1,2,3,4,5；通过LINDO软件可得10x；20x；36x；40x；50x；4793z即在此次降落伞的选择中选择半径为3m的降落伞6个，最小费用为4793元模型的评价与推广优点：1.分析阻力时用两种方法计算出了k的大小，大大简化了问题。2.在解决这个问题时，从()vt推导出()vm,而且从()vm反推出()mv，尽可能大的减少了计算量。3.在解决问题时，采用分步求解法不但细化了问题，而且使问题得到了更全面更精确地结果。缺点：1．选择降落伞时，计算货物的加速度时忽略了风力因素，会导致计算的不精确。2.在简化问题时对降落伞的质量进行忽略，但在实际中是不可任意忽略的。3.本文将货物处理成物理质点，并未考虑实际物资是否可拆分。模型的推广1.mgvks中，可以通过该改变降落伞载重量与面积的大小可以改变落地时速度的大小。2.通过对这个模型的建立，可以推广到不同质量的货物上，如3000kg,5000kg3.这个模型也适用于集装箱问题，从更进一步上举一反三，进行资源的整合。参考文献1.．《数学实验》萧树铁主编，高等教育出版社，1999.7.1附录程序1t=[0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30]；H=[0,30,75,128,183,236,285,340,392,445,499];plot(t,H,'*')程序2polyfit(t,h,1)表格1半径r/m22.533.54费用/元6517035066010