浅谈正项级数收敛性的几种判别方法

浅谈正项级数收敛性的几种判定方法摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，正项级数的收敛性更是级数理论的核心问题。正项级数收敛性的判别方法很多，但是用起来需要有一定的技巧。本论文从四个方面（1）、比较原则；（2）、达朗贝尔判别法，或称为比式判别法；（3）、柯西判别法，或称为根式判别法；（4）、积分判别法归纳了正项级数收敛性。关键词：正项级数、收敛、判别法、判断引言关于正项级数收敛性的问题，本文首先分析题目的要求，然后再来选择最合适的判别方法来判断正项级数的收敛性。下面用（1）比较原则，（2）比式判别法，（3）根式判别法，（4）积分判别法四种判别方法对正项级数的收敛性进行判别。（1）比较原则比较原则是一种常用的极限形式，也是一种常用的判别正项级数收敛性的方法。根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性。比较原则：设nu和nv是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切nN都有nunv（i）若级数nv收敛，则级数nu也收敛；（ii）若级数nu发散，则级数nv也发散。推论设nuuu21，（1）nvvv21（）是两个正项级数，若2lvunnnlim，（3）则（ⅰ）当l0时，级数（1）、（2）同时收敛或同时发散；（ⅱ）当0l且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛；（ⅲ）当l且级数（2）发散时，级数（1）也发散。例1、考察112nn的收敛性。解由于当2n时，有nnnn22111=2)1(1)1(1nnn因为正项级数22)1(1nn收敛，通过比较原则可得级数112nn也收敛。以上例题，用比较原则判断该正项级数，结果是收敛的。现在继续用比较原则来判断一个正项级数的发散性。例2、判定正项级数1)1(1nnn的敛散性。解：因为)1(1nn11n而级数111nn=413121…11n+…是去掉首项的调和级数，因而是发散的，根据比较收敛法知所给级数发散。例3、判定正项级数n1sin=n1sin21sin1sin的敛散性。解：正项级数n1sin=n1sin21sin1sin是发散的，因为111sinlimnnn的根据推论以及调和级数n1发散，所以级数n1sin也发散。比较判别法是一种有用的判别法，在使用时必须先要对所考虑的级数的敛散性有一个大致的估计，然后找一个敛散性已知的合适级数与之相比较。但就绝大多数情况而言，这两个步骤具有相当的难度，甚至根本无法做到。看来，理想的判别方法还是应3该着眼于对级数自身元素的分析，下面我们介绍几种这样的判别法。（2）达朗贝尔判别法，或称为比式判别法比式判别法也是一种常用的判别正项级数收敛性的方法。通过正项级数的后项与前项的比值来判断收敛性。比式判别法适合1nu与nu有公因式且nnnuu1lim存在或等于无穷大的情形。设nu为正项级数，且存在某正整数0N及常数)10(qq。（i）若对一切0Nn，成立不等式quunn1则级数nu收敛。（ii）若对一切0Nn，成立不等式11nnuu则级数nu发散。推论（比式判别法的极限形式）设nu为正项级数，且quunnn1lim，则（ⅰ）当1q时，级数nu收敛；（ⅱ）当1q或q时，级数nu发散；（注）当1q时，级数nu可能收敛，也可能发散。如：n1，21n。例1、判定级数100100100231232222nn的敛散性。解由于于是有10010011001)1(2122)1(nnnnuunnnn121)1(21limlim1001nnuunnnn4由比式收敛法知，所给级数收敛。例2、用比式判别法判断正项级数!)12(3.1nnL的敛散性。解：因为)12(3.1!.)!1()12(3.1limlim1nLnnnLuunnnn=12112limnnn根据推论，正项级数!)12(3.1nnL发散。例3、判定正项级数nnnn!.3的敛散性。解因为!.3.)1()!1.(3limlim111nnnnuunnnnnnnn=nnn)11(3lim=13e根据推论，正项级数nnnn!.3发散。（3）柯西判别法，或称根式判别法柯西判别法也是一种判断正项级数敛散性的方法，较之于达朗贝尔判别法，它用起来更有效。柯西判别法适合nu中含有表达式的n次幂，且nnnulim或等于的情形。设1nna是正项级数（i）如果存在自然数N和一个常数r(0,1)使得nnar,nN,那么级数1nna收敛（ii）如对无穷多个n有nna1那么级数1nna发散。5推论（根式判别法的极限形式）设nu为正项级数，且lunnnlim，则（ⅰ）当1l时，级数nu收敛；（ⅱ）当1l（可为）时，级数nu发散；注:当1q时，级数nu可能收敛，也可能发散。如：n1，21n.例1、判断正项级数1)12(nnnn的敛散性。解：因为2112limlimnnunnnn根据推论，级数1)12(nnnn收敛例2、判定正项级数babaanaabnnnn,0,,)),(()(的敛散性。解：因为)(nababunnn从而当ba时，该级数发散；当ba时，该级数收敛；当b=a时，该级数的敛散性不能确定。例3、讨论级数nn2)1(2的敛散性。解：由于212)1(2limlimnnnnnnu根据推论，正项级数nn2)1(2是收敛的。注：在（1）中若1l，则根式判别法无法对级数的敛散性作出判断。例如对级数nin121和nin11，都有)(nunn，但级数nin121收敛，而nin11发散。说明：因ququunnnnnnlimlim1，所以这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级6数，也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。由例3可知道若一个正项级数的敛散情况可以由达朗贝尔判别法判定，则它一定也能用柯西判别法来判定。但是，能用柯西判别法判定的，我们却未必能用达朗贝尔判别法判定。（4）积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。对于正项级数,1nna，如果}{na可看作由一个在),1[上单调减少函数)(xf所产生,即有).(nfan则可用积分判别法来判定正项级数1nna的敛散性。积分判别法：设f为),1[上的非负减函数，那么正项级数)(nf与反常积分1)(dxxf同时敛散。例1、利用积分判别法判断正项级数31lnlnlnnnnn的敛散性。解：因为1()lnlnlnfxxxx当3x时是正的连续递减函数，且331ln|lnln|lnlnlndxxxxx，由积分判别法知：31lnlnlnnnnn发散。例2、利用积分判别法判断正项级数211nnnee的敛散性。解：令2()1xxefxe，当1x时222(1)()0(1)xxxeefxe，()fx是正的连续减函数，且2arctan111xxxedxeeearctan，由积分判别法知：211nnnee收敛.例3、求证级数22)(ln1nnn收敛性。7证明：)2ln22ln1(lim)(lnlim22nnnnxdx=2ln1所以级数22)(ln1nnn收敛。综上所述，我们主要介绍了四种正项级数收敛性的判别方法。事实上，除了这四种判别法之外，还有若干个判别准则，不过相对于上述的四种判别方法，其他的判别方法使用到的频率要少得多，通常我们用以上四个判别方法来解决正项级数收敛性的问题。比较原则需要找一个敛散性已知的合适的正项级数来跟原来的级数相比较，达朗贝尔判别法还有柯西判别法相对于比较原则不需要找合适的正项级数，难度相对会少一点。而积分判别法是通过非负函数的单调性和积分性质并用反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性的。每一种判别法都有它的特点，在做题的时候，我们应该认真分析题目，选择最恰当的判别法解决问题。参考文献1、高尚华《数学分析》高等教育出版社20012、邓东皋《数学分析简明教程》高等教育出版社出版20093、王继武康泰《四川师院学报》19814、廖小勇库在强《黄冈师范学院学报》20035、费定晖《数学分析习题集》山东科学技术出版社2008