机器人运动学动力学轨迹规划

第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/71第3章工业机器人运动学和动力学3.1工业机器人的运动学3.2工业机器人的动力学3.3工业机器人的运动轨迹规则第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/723.1工业机器人的运动学3.1.11.如图3.1所示,在直角坐标系{A}中,空间任一点P的位置可用(3×1)的位置矢量APzyxApppP(3.1)其中,px、py、pz是点P的三个位置坐标分量。第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/73图3.1点的位置描述第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/742.点的齐次坐标如用四个数，组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P,则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标,如下:1zyxpppP(3.2)第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/75•齐次坐标并不是惟一的。当列阵的每一项分别乘以一个非零因子ω时,即cbapppPzyx1(3.3)其中:a=ωpx,b=ωpy,c=ωpz。该列阵也表示P点,齐次坐标的表示不是惟一的。第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/763.坐标轴方向的描述•用i、j、k来表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量；•用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向,则有0100,0010,0001ZYX规定:列阵［abc0］T中第四个元素为零,且a2+b2+c2=1,表示某轴(或某矢量)的方向;列阵［abcω］T中第四个元素不为零,则表示空间某点的位置。第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/77例如,在图3.2中,矢量v的方向用(4×1)列阵表示为0cbav其中:a=cosα,b=cosβ,c=cosγ。矢量v的始点为坐标原点,表示为1000o第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/78当α=60°,β=60°,γ=45°时,矢量为0707.05.05.0v第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/79图3.2坐标轴方向的描述第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/7104.动坐标系位姿的描述，就是用位姿矩阵对动坐标系原点位置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为(4×4)的方阵。如上述直角坐标系可描述为:1000010000100001A第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/7115.刚体位姿的描述机器人的每一个连杆均可视为一个刚体,若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空中的姿态,则这个刚体在空间上是惟一确定的,可用惟一一个位姿矩阵进行描述。如图3.3所示,设O′X′Y′Z′为与刚体Q固连的一个坐标系,称为动坐标系。刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式表示为1000zyxp第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/712图3.3刚体的位置和姿态描述第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/713令n、o、a分别为X′、Y′、Z′坐标轴的单位方向矢量,即0,0,0zyxzyxzyxaaaaoooonnnn刚体的位姿表示为(4×4)矩阵:1000][000zaonyaonxaonpaonTxzzyyyxxx第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/7146.机器人手部的位姿如图3.4所示,可用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示。坐标系{B}由原点位置和三个单位矢量惟一确定,即:(1)原点:取手部中心点为原点OB;(2)接近矢量:关节轴方向的单位矢量a;(3)姿态矢量:手指连线方向的单位矢量o;(4)法向矢量:n为法向单位矢量,同时垂直于a、o矢量,即n=o×a。第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/715手部位姿矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标系{B}原点的矢量p。手部的位姿可由(4×4)矩阵表示:1000][zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonpaonT第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/716图3.4机器人手部的位置和姿态描述第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/7177.目标物位姿的描述任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵来表示,如图3.5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点描述,矩)64(104110411111220000001111Q第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/718若让其绕Z轴旋转90°,记为Rot(z,90°);再绕Y轴旋转90°,即Rot(y,90°),然后再沿X轴方向平移4,即Trans(4,0,0),则楔块成为(b)图位姿,其齐次矩阵表达式为)64(141414141111000011116644Q用符号表示对目标物的变换方式可以记录物体移动的过程,也便于矩阵的运算,所以应该熟练掌握。第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/719图3.5目标物的位置和姿态描述第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/7203.1.2齐次变换及运算1.平移的齐次变换如图3.6所示，为空间某一点在直角坐标系中的平移,由A(x,y,z)平移至A′(x′,y′,z′),即zzzyyyxxx'''(3.10)110001000100011'''zyxzyxzyx第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/721图3.6点的平移变换第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/722记为:a′=Trans(Δx,Δy,Δz)a其中,Trans(Δx,Δy,Δz)称为平移算子,Δx、Δy、Δz分别表示沿X、Y、Z轴的移动量。即:1000100010001),,(Transzyxzyx第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/723注:①算子左乘:表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。②算子右乘:表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。③该公式亦适用于坐标系的平移变换、物体的平移变换,如机器人手部的平移变换。第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/7242.旋转的齐次变换点在空间直角坐标系中的旋转如图3.7所示。A(x,y,z)绕Z轴旋转θA′(x′,y′,z′),A与A′之间的关系为zzyxyyxx'cossin'sincos'第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/725图3.7点的旋转变换第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/726推导如下:因A点是绕Z轴旋转的,所以把A与A′投影到XOY平面内,设OA=r,sincosryrx同时有'sin''cos'ryrx其中,α′=α+θ,即)sin(')cos('ryrx第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/727所以sincoscossin'sinsincoscos'rryrrx(3.17)所以sincos'sincos'xyyyxx(3.18)由于Z坐标不变,zzxyyyxx'cossin'sincos'第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/728写成矩阵形式为11000010000cossin00sincos1'''zyxzyx第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/729记为:a′=Rot(z,θ)a其中,绕Z轴旋转算子左乘是相对于固定坐标系,1000010000cossin00sincos),(Rotz第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/730同理,10000cossin00sincos00001),(Rotx(3.22)10000cos0sin00100sin0cos),(Roty第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/731图3.8所示，为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角的情况。kx、ky、kz分别为k矢量在固定参考坐标轴X、Y、Z上的三个分量,且k2x+k2y+k2z=1。10000cos)cos1(sin)cos1(sin)cos1(0sin)cos1(cos)cos1(sin)cos1(0sin)cos1(sin)cos1(cos)cos1(),(Rotzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk注:①该式为一般旋转齐次变换通式,概括了绕X、Y、Z轴进行旋转变换的情况。反之,当给出某个旋转齐次变换矩阵,则可求得k及转角θ。②变换算子公式不仅适用于点的旋转,也适用于矢量、坐标系、物体的旋转。第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/732图3.8点的一般旋转变换第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/7333.1.3工业机器人的连杆参数和齐次变换矩阵1.连杆参数及连杆坐标系的建立以机器人手臂的某一连杆为例。如图3.9所示,连杆n两端有关节n和n+1。描述该连杆可以通过两个几何参数:连杆长度和扭角。由于连杆两端的关节分别有其各自的关节轴线,通常情况下这两条轴线是空间异面直线,那么这两条异面直线的公垂线段的长an即为连杆长度，这两条异面直线间的夹角αn即为连杆扭角。第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/734图3.9连杆的几何参数第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/735如图3.10所示,相邻杆件n与n-1的关系参数可由连杆转角和连杆距离描述。•沿关节n轴线上，两个公垂线间的距离dn即为连杆距离;•垂直于关节n轴线的平面内，两个公垂线的夹角θn即为连杆转角。第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/736图3.10连杆的关系参数第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/737这样,每个连杆可以由四个参数来描述,其中两个是连杆尺寸,两个表示连杆与相邻连杆的连接关系。•当连杆n旋转时,θn随之改变,为关节变量,其它三个参数不变;•当连杆进行平移运动时,dn随之改变,为关节变量,其它三个参数不变。确定连杆的运动类型,同时根据关节变量即可设计关节运动副,从而进行整个机器人的结构设计。已知各个关节变量的值,便可从基座固定坐标系通过连杆坐标系的传递,推导出手部坐标系的位姿形态。第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/738建立连杆坐标系的规则如下:①连杆n坐标系的坐标原点位于n+1关节轴线上,是关节n+1的关节轴线与n和n+1关节轴线公垂线的交点。②Z轴与n+1关节轴线重合。③X轴与公垂线重合;从n指向n+1关节。④Y轴按右手螺旋法则确定。第3章工业机器人运动学和动力学2020/6/7392.各连杆坐标系建立后,n-1系与n系间变换关系可用坐标系的平移、旋转来实现。从n-1系到n系的变换步骤如下:(1)令n-1系绕Zn-1轴旋转θn角,使Xn-1与Xn平行,算子为Rot(z,θn)。(2)沿Zn-1轴平移dn,使Xn-1与Xn重合,算子为Trans(0,0,dn)。(3)沿Xn轴平移an,使两个坐标系原点重合,算子为Trans(an,0,0)。(4)绕Xn轴旋转an角,使得n-1系与n系重合,算