2015-2018年全国卷文科数学数列真题

第1页共12页2015-2018年全国卷文科数学数列真题等差数列1．（2015全国2）设nS是数列}{na的前n项和，若3531aaa，则5SA．5B．7C．9D．12．（2015全国1）已知{}na是公差为1的等差数列，nS为{}na的前n项和，若844SS，则10aA．172B．192C．10D．123．（2013全国1）设等差数列{}na的前n项和为nS，1mS＝－2，mS＝0，1mS＝3，则m＝A．3B．4C．5D．64．（2013全国2）等差数列na的前n项和为nS，已知100S，1525S，则nnS的最小值为____．5．（2018全国卷Ⅱ）记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a，315S．(1)求{}na的通项公式；(2)求nS，并求nS的最小值．6．（2014全国1）已知na是递增的等差数列，2a，4a是方程2560xx的根．(Ⅰ)求na的通项公式；（Ⅱ）求数列2nna的前n项和．7．(2014全国1)已知数列{na}的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnnaaS，其中为常数．(Ⅰ)证明：2nnaa；（Ⅱ）是否存在，使得{na}为等差数列？并说明理由．8．（2013全国1）已知等差数列{}na的前n项和nS满足30S，55S．（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）求数列21211{}nnaa的前n项和．9．（2013全国2）已知等差数列{}na的公差不为零，125a，且11113,,aaa成等比数列．（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）求14732+naaaa．等差数列答案1．A【解析】13533331aaaaa，15535552aaSa．故选A．第2页共12页2．B【解析】设等差数列{}na的首项为1a，公差为d，由题设知1d=，844SS=，所以118284(46)aa+=+，解得112a=，所以10119922a=+=．3．C【解析】有题意知mS=1()2mmaa=0，∴1a=－ma=－（mS-1mS）=－2，1ma=1mS-mS=3，∴公差d=1ma-ma=1，∴3=1ma=－2m，∴m=5，故选C．4．－49【解析】设na的首项为1a，公差d，由100S，1525S，得112903215adad，解得123,3ad，∴321103nnSnn，设321103fnnn，220,3fnnn当2003n时0fn，当203n，0fn，由*nN，当6n时，31661036483f当7n时，3217107493fn∴7n时，nnS取得最小值49．5．【解析】(1)设{}na的公差为d，由题意得13315ad．由17a得2d．所以{}na的通项公式为29nan．(2)由(1)得228(4)16nSnnn．所以当4n时，nS取得最小值，最小值为−16．6．【解析】(Ⅰ)方程2560xx的两根为2,3，由题意得242,3.aa设数列na的公差为d，则422,aad故1,2d从而13,2a所以na的通项公式为112nan．（Ⅱ）设2nna的前n项和为nS，由（I）知12,22nnnan则2313412...,2222nnnnnS341213412....22222nnnnnS第3页共12页两式相减得31213112(...)24222nnnnS123112(1).4422nnn所以1422nnnS．7．【解析】(Ⅰ)由题设，11211,1.nnnnnnaaSaaS两式相减得121().nnnaaaa由于10na，所以2.nnaa（Ⅱ）由题设，11a，1211aaS，可得21.a由(Ⅰ)知，31.a令2132aaa，解得4.故24nnaa，由此可得21na是首项为1，公差为4的等差数列，2143nan；2na是首项为3，公差为4的等差数列，241nan.所以21nan，12nnaa.因此存在4，使得数列na为等差数列．8．【解析】（Ⅰ）设na的公差为d，则nS=1(1)2nnnad。由已知可得111330,1,1.5105,adadad解得=2-.nnaan故的通项公式为（Ⅱ）由（Ⅰ）知212111111(),(32)(12)22321nnaannnn从而数列21211nnnaa的前项和为1111111-+-++)2-1113232112nnnn（.9．【解析】（Ⅰ）设{}na的公差为d，由题意，211113aaa即21111012adaad第4页共12页于是12250dad所以0d（舍去），2d故227nan（Ⅱ）令14732nnSaaaa．由（Ⅰ）知32631nan，所以32na是首项为25，公差为-6的等差数列，从而21323282nnnSaann．等比数列1．（2015全国2）已知等比数列}{na满足411a，)1(4453aaa，则2aA．2B．1C．21D．812．（2013全国2）等比数列na的前n项和为nS，已知32110Saa，59a，则1a=A．13B．13C．19D．193．（2018全国Ⅰ）已知数列{}na满足11a，12(1)nnnana，设nnabn．(1)求1b，2b，3b；(2)判断数列{}nb是否为等比数列，并说明理由；(3)求{}na的通项公式．4．（2018全国Ⅲ）等比数列{}na中，11a，534aa．(1)求{}na的通项公式；(2)记nS为{}na的前n项和．若63mS，求m．5．（201全国Ⅰ）记nS为等比数列{}na的前n项和，已知22S，36S．(1)求{}na的通项公式；(2)求nS，并判断1nS，nS，2nS是否成等差数列。6．（2017新课标Ⅱ）已知等差数列{}na的前n项和为nS，等比数列{}nb的前n项和为nT，11a，11b，222ab．第5页共12页(1)若335ab，求{}nb的通项公式；(2)若321T，求3S7．（2016年全国III卷）已知各项都为正数的数列na满足11a，211(21)20nnnnaaaa．（Ⅰ）求23,aa；（Ⅱ）求na的通项公式．8．（2014新课标）已知数列na满足1a=1，131nnaa．（Ⅰ）证明12na是等比数列，并求na的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112naaa…+．9．（2011新课标）已知等比数列{}na的各项均为正数，且212326231,9aaaaa．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式．（Ⅱ）设31323logloglognnbaaa，求数列1{}nb的前n项和．等比数列答案1．C【解析】由题意可得235444412aaaaa，所以34182aqqa，故2112aaq，选C．2．C【解析】设等比数列na的公比为q，∵32110Saa，∴1232110aaaaa，即319aa，∴29q，由59a，即419aq，∴119a．3．【解析】(1)由条件可得12(1)nnnaan．将1n代入得，214aa，而11a，所以，24a．将2n代入得，323aa，所以，312a．从而11b，22b，34b．(2){}nb是首项为1，公比为2的等比数列．第6页共12页由条件可得121nnaann，即12nnbb，又11b，所以{}nb是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得12nnan，所以12nnan．4．【解析】(1)设{}na的公比为q，由题设得1nnaq．由已知得424qq，解得0q（舍去），2q或2q．故1(2)nna或12nna．(2)若1(2)nna，则1(2)3nnS．由63mS得(2)188m，此方程没有正整数解．若12nna，则21nnS．由63mS得264m，解得6m．综上，6m．5．【解析】（1）设{}na的公比为q．由题设可得121(1)2(1)6aqaqq，解得2q，12a．故{}na的通项公式为(2)nna．（2）由（1）可得11(1)22()1331nnnnaqSq．由于3212142222()2[()]2313313nnnnnnnnSSS，故1nS，nS，2nS成等差数列．6．【解析】设{}na的公差为d，{}nb的公比为q，则1(1)nand，1nnbq．由222ab得，3dq①（1）由335ab得，第7页共12页226dq②联立①和②解得30dq（舍去），12dq因此{}nb的通项公式为12nnb．（2）由11b，321T得2200qq解得5q，4q．当5q时，由①得8d，则321S．当4q时，由①得1d，则36S．7．【解析】（Ⅰ）由题意得41,2132aa．（Ⅱ）由02)12(112nnnnaaaa得)1()1(21nnnnaaaa．因为na的各项都为正数，所以211nnaa．故na是首项为1，公比为21的等比数列，因此121nna．8．【解析】（I）由131nnaa得1113()22nnaa．又11322a，所以12na是首项为32，公比为3的等比数列．1322nna，因此na的通项公式为312nna．（Ⅱ）由（I）知1231nna．因为当1n时，13123nn，所以1113123nn．于是11211111313...1...(1)33232nnnaaa．所以121113...2naaa．9．【解析】（Ⅰ）设数列na的公比为q，由23269aaa得32349aa所以219q．第8页共12页由条件可知0c，故13q．由12231aa得12231aaq，所以113a．故数列na的通项式为na=13n．（Ⅱ）31323nloglog...lognbaaa(12...)(1)2nnn故12112()(1)1nbnnnn12111111112...2((1)()...())22311nnbbbnnn所以数列1{}nb的前n项和为21nn．递推数列与数列求和1．（2012全国）数列na满足1(1)21nnnaan，则na的前60项和为A．3690B．3660C．1845D．18302．（2015全国1）数列na中112,2,nnnaaaS为na的前n项和，若126nS，则n．3．（2014全国2）数列na满足111nnaa，2a=2，则1a=_________．4．（2013全国1）若数列{na}的前n项和为nS＝2133na，则数列{na}的通项公式是na=______．5．（2012全国）数列}{na满足12)1(1naannn，则}{na的前60项和为．6．（2017全国Ⅲ）数列{}na满足123(21)2naanan．(1)求{