直线与平面的夹角(含答案)

直线与平面的夹角一、基础过关1．平面的一条斜线和这个平面所成角θ的范围是()A．0°θ90°B．0°≤θ90°C．0°θ≤90°D．0°θ180°2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C与平面ABCD所成的角是()A．90°B．30°C．45°D．60°3．正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为()A.12B.13C.33D.34．在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是()A.32B.22C.104D.645．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23B.33C.23D.636．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是________．二、能力提升7．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()A.34B.54C.74D.348.如图，∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝2a，OA与平面α所成的角为________．9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱长为2，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是__________________________.10．在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值．11.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．12.如图，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．三、探究与拓展13.已知几何体EFG—ABCD如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上．(1)求证：BM⊥EF；(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°，若存在，试求点M的位置；若不存在，请说明理由．答案1．A2.C3．C4．D5．D6．60°7．D8．45°9.π610．解如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD，EG⊥平面BCD，O、G为垂足．∴AO綊2GE，AO、GE确定平面AOD，连接GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．∵AB＝AC＝AD，∴OB＝OC＝OD.∵△BCD是正三角形，∴O为△BCD的中心，连接DO并延长交BC于F，则F为BC的中点．令正四面体的棱长为1，可求得CE＝32，DF＝32，OD＝33，AO＝AD2－OD2＝1－39＝63，∴EG＝66，在Rt△ECG中，sin∠ECG＝EGCE＝23.11．解取CD的中点M，则EM∥PD，又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴BE在平面ABCD上的射影为BM，∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角，如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝1，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，∴M0，12，0，E0，12，12，∴BE→＝－1，－12，12，BM→＝－1，－12，0，cos〈BM→，BE→〉＝BE→·BM→|BE→||BM→|＝1＋1432×52＝306，∴BE与平面ABCD夹角的余弦值为306.12．解(1)如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则DA→＝(1,0,0)，CC′→＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设DH→＝(m，m,1)(m0)，由已知〈DH→，DA→〉＝60°，由DA→·DH→＝|DA→||DH→|cos〈DH→，DA→〉，可得2m＝2m2＋1.解得m＝22，所以DH→＝22，22，1.因为cos〈DH→，CC′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH→，CC′→〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC→＝(0,1,0)．因为cos〈DH→，DC→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH→，DC→〉＝60°.可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.13．(1)证明∵四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，∴GD⊥DA，GD⊥DC，又DA∩DC＝D，∴GD⊥平面ABCD.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)．∵点M在边DG上，故可设M(0,0，t)(0≤t≤1)．∵MB→＝(1,1，－t)，EF→＝(－1,1,0)，∴MB→·EF→＝1×(－1)＋1×1＋(－t)×0＝0，∴BM⊥EF.(2)解假设存在点M使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，∵BE→＝(0，－1,1)，BF→＝(－1,0,1)，∴n·BE→＝0，n·BF→＝0，∴－y＋z＝0，－x＋z＝0.令z＝1得x＝y＝1，∴n＝(1,1,1)，∴cos〈n，MB→〉＝n·MB→|n||MB→|＝2－t3×2＋t2，∵直线BM与平面BEF所成的角为45°，∴sin45°＝|cos〈n，MB→〉|，∴2－t3×2＋t2＝22，解得t＝－4±32，又因0≤t≤1，∴只取t＝32－4.∴存在点M(0,0,32－4)．M点位于DG上，且DM＝32－4时，使得直线BM与平面BEF所成的角为45°.