高中数学必修5--第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）一．数列的概念与简单表示法知识能否忆起1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an(3)数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．3.考点（一）由数列的前几项求数列的通项公式[例1](2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是()A．an＝1B．an＝－1n＋12C．an＝2－sinnπ2D．an＝－1n－1＋32[自主解答]由an＝2－sinnπ2可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案]C由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法写出下面数列的一个通项公式．(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)3,33,333,3333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以an＝13(10n－1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.（二）由an与Sn的关系求通项an已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．[例2]已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an.(1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1.[自主解答](1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，故an＝4，n＝1，2×3n－1，n≥2.以题试法(2012·聊城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝nn＋1，则1a5＝()A.56B.65C.130D．30解析：选D当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nn＋1－n－1n＝1nn＋1，则a5＝15×6＝130.（三）数列的性质[例3]已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？[自主解答](1)因为an＝n2－21n＋20＝n－2122－3614，可知对称轴方程为n＝212＝10.5.又因n∈N*，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n项和最小，则有an≤0，由n2－21n＋20≤0，解得1≤n≤20，故数列{an}从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n项和最值的求法(1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋10，则Sm最大；若am≤0，且am＋10，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3．(2012·江西七校联考)数列{an}的通项an＝nn2＋90，则数列{an}中的最大值是()A．310B．19C.119D.1060解析：选Can＝1n＋90n，由基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N*，易知当n＝9或10时，an＝119最大．二．等差数列及其前n项和知识能否忆起一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．二、等差数列的有关公式1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d.2．前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12d＝a1＋ann2.三、等差数列的性质1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq.2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d.4．等差数列的增减性：d0时为递增数列，且当a10时前n项和Sn有最小值．d0时为递减数列，且当a10时前n项和Sn有最大值．5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝d2，B＝a1－d2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件．1.与前n项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．(2)Sn＝d2n2＋a1－d2n＝An2＋Bn⇒d＝2A.(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．考点等差数列的判断与证明[例1]在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)设bn＝an＋32n(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．[自主解答](1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n∈N*，∵bn＋1－bn＝an＋1＋32n＋1－an＋32n＝12n＋1[(an＋1－2an)－3]＝12n＋1[(2n＋1＋3)－3]＝1，∴数列{bn}是首项为a1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．由题悟法1．证明{an}为等差数列的方法：(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列；(2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列；(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝na1＋an2.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．以题试法1．已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.(1)求Sn；(2)证明：数列{an}是等差数列．解：(1)设Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则－2＝A＋B＋C，0＝4A＋2B＋C，6＝9A＋3B＋C，解得A＝2，B＝－4，C＝0.故Sn＝2n2－4n.(2)证明：∵当n＝1时，a1＝S1＝－2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]＝4n－6.∴an＝4n－6(n∈N*)．an＋1－an＝4，∴数列{an}是等差数列.等差数列的基本运算典题导入[例2](2012·重庆高考)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．[自主解答](1)设数列{an}的公差为d，由题意知2a1＋2d＝8，2a1＋4d＝12，解得a1＝2，d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)可得Sn＝na1＋an2＝n2＋2n2＝n(n＋1)．因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a2k＝a1Sk＋2.从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.由题悟法1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．以题试法2．(1)在等差数列中，已知a6＝10，S5＝5，则S8＝________.(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S412－S39＝1，则公差为________．解析：(1)∵a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝10，5a1＋10d＝5.解方程组得a1＝－5，d＝3.则S8＝8a1＋28d＝8×(－5)＋28×3＝44.(2)依题意得S4＝4a1＋4×32d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋3×22d＝3a1＋3d，于是有4a1＋6d12－3a1＋3d9＝1，由此解得d＝6，即公差为6.答案：(1)44(2)6等差数列的性质典题导入[例3](1)等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项和S9等于()A．66B．99C．144D．297(2)(2012·天津模拟)设等差数列{an}的前n项和Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝()A．18