解三角形教案(精简版)

1高一数学必修5第一章解三角形教学设计●教学过程[理解定理]正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，sinbkB，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析]例题.在ABC中,已知3a,2b,B=450.求A、C和c.解:004590B且,baA有两解.由正弦定理,得23245sin3sinsin0bBaA0012060AA或1)当A=600时,C=1800-A-B=750,00sin2sin7562sin2sin45bCcB2)当A=1200时,C=1800-A-B=150,00sin2sin1562sin2sin45bCcB练习：1),32,45,6,0aAcABC中求B、C、b.2),2,45,6,0aAcABC中求B、C、b.3）已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，求::abc小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：sinsinabABsincC0sinsinsinabckkABC；或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。2课题:§1.1.2余弦定理授课类型：新授课[理解定理]余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2bacCba从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=090，则cos0C，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。[例题分析]例1．在ABC中，已知23a，62c，060B，求b及A⑴解：∵2222cosbacacB=22(23)(62)223(62)cos045=212(62)43(31)=8∴22.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos222222(22)(62)(23)1,22222(62)bcaAbc∴060.A解法二：∵sin023sinsin45,22aABb又∵62＞2.41.43.8,23＜21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜090,∴060.A评述：解法二应注意确定A的取值范围。练习：在ABC中，若222abcbc，求角A（答案：A=1200）小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。课题:§1．1．3解三角形的进一步讨论授课类型：新授课●教学过程[探索研究]例1．在ABC中，已知,,abA，讨论三角形解的情况分析：先由sinsinbABa可进一步求出B；则0180()CAB，从而sinaCcA1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。32．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sinabA，则有两解；（2）若sinabA，则只有一解；（3）若sinabA，则无解。（以上解答过程详见课本第9-10页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且sinbAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。练习:（1）在ABC中，已知80a，100b，045A，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的b的值有_____个。（3）在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x）利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状例2．根据所给条件,判断ABC的形状.1）在ABC中，已知7a，5b，3c。2）;coscosBbAa3）CcBbAacoscoscos分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC是锐角三角形（注意：是锐角AABC是锐角三角形）1）解：222753，即222abc，∴ABC是钝角三角形。2）解:解法一(化边)由余弦定理得)2()2(coscos222222acbcabbcacbaBbAa0422422bcbaca,0)()(22222bacba022ba或0222bac222cba或ba故ABC是直角三角形或等腰三角形解法二(化角)由;coscosBbAa可得BBRAARcossin2cossin2即BA2sin2sinBA22或,180220BA即BA或A+B=900故ABC是直角三角形或等腰三角形3）解：(化角)解法一:由正弦定理得CAcasinsin,CBcbsinsin代入已知等式得CcCBBcCAAccossincossinsincossin,CCBBAAcossincossincossin即CBAtantantan),0(,,CBACBA故ABC是等边三角形4(化边)解法二:由已知等式得CCRBBRAARcossin2cossin2cossin2即CBAtantantan),0(,,CBACBA故ABC是等边三角形练习：1）在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，判断ABC的类型。2）在ABC中，060A，1a，2bc，判断ABC的形状。3）判断满足下列条件的三角形形状，sinC=BABAcoscossinsin提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”三角形面积公式，S=21absinC，S=21bcsinA,S=21acsinB例3、在ABC中，求证：（1）;sinsinsin222222CBAcba（2）2a+2b+2c=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设Aasin=Bbsin=Ccsin=k显然k0，所以左边=CkBkAkcba222222222sinsinsin=CBA222sinsinsin=右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bcbcacb2222+cacabac2222+ababcba2222)=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=63,求a及ABC的面积例4．在ABC中，060A，1b，面积为32，求sinsinsinabcABC的值分析：可利用三角形面积定理111sinsinsin222SabCacBbcA以及正弦定理sinsinabABsincCsinsinsinabcABC解：由13sin22SbcA得2c，则2222cosabcbcA=3，即3a，从而sinsinsinabcABC2sinaA练习：（1）在ABC中，若55a，16b，且此三角形的面积2203S，求角C（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积2224abcS，求角C（答案：（1）060或0120；（2）045）小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简5并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。