文科二轮专题八圆锥曲线几何性质与方程解析完善版

1第9讲圆锥曲线的定义、方程及性质题型1圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(直线l是抛物线的准线)．典型例题例1、椭圆22143xy的左焦点为F,直线xm与椭圆相交于点A、B,当FAB的周长最大时,FAB的面积是____________.[解析]如图，设椭圆右焦点为F′，直线x＝m与x轴相交于C，由椭圆第一定义，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a＝4，而|AB|＝|AC|＋|BC|≤|AF′|＋|BF′|，∴当且仅当AB过F′时，△ABF周长最大．此时，由c＝1，得A231231，，，BA即|AB|＝3，∴S△ABF＝12|AB||FF′|＝3.例2.在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆y24+x23=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),|PA|+|PB|的最大值为()A.5B.4C.3D.2例3.点P是双曲线2213yx右支上的动点，2F为双曲线的右焦点，A(3,1)，求2||+||PAPF的最小值.注意：此问题属于圆锥曲线中与动点有关的最值问题，后面会专门讲到，在求距离之和类的最值问题中经常用到三角形两边之和大于第三边，等号取到时，则无法构成三角形。【解析】122122,=-2||+||PFPFaPFPFPAPF所以，求的最小值即求12PAPF的最小值，很显然，当1,,APF三点共线时取得最小是，最小值为1=26-2AF2例4.（2009四川卷理）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2B.3C.D.解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。解析2：如下图，由题意可知例5、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是解一、cAFcAFcFFABF334,332,221212是正三角形且caAFAF32221，33ace解二：由题意知AB为通径，abAB22，又因为CFF221,在正三角2ABF中舍去解得即3330323322322222221eeeecaacabcABFF例6.、（钟祥一中2018届高三五月适应性考试（一））已知双曲线C:191622yx与直线L:05kykx交于A，B两点，若8AB，则直线L有（）条A．1B．2C．3D．417、C例7．过抛物线22(0)ypxp的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且4AB，这样的直线可以作2条，则P的取值范围是_______2,0______．1:4360lxy2:1lx24yxP1l2l11537162:1lx24yx2l)0,1(F24yxPP)0,1(F2l)0,1(F1:4360lxy25|604|mind22|3106|234d33题型2圆锥曲线的焦点弦3对焦点三角形12FPF△的处理方法，通常是运用定义式的平方余弦定理面积公式sin21cos222)-2)21212221222212221PFPFSPFPFPFPFcaPFPFaPFPF或（（二：椭圆的焦点三角形椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点12,FF与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。)0(12222babyax：性质有：1.12||||2PFPFa2.2221212124||||2||||coscPFPFPFPFFPF3.椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大.证明：设P是椭圆22221xyab（0ab，c为半焦距）上的一点，O为原点，E、F是椭圆的两焦点，PEm，PFn则222222244222cos1122mncbmnbbEPFmnmnmna，由余弦函数图象性质知EPF有最大值，当且仅当P在短轴端点时取到该最大值。4.设P为椭圆上的任意一点，角12FFP，21FFP，21FPF，则有离心率sin()sinsine，122sin1cosPFFSb2=btan2证明：由正弦定理得：sinsin)180sin(1221PFPFFFo由等比定理得：sinsin)sin(2121PFPFFF而)sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF∴sinsin)sin(ace。5、12FF、是椭圆22221xyab(0)ab的两个焦点，P是椭圆上任一点，12FPF求12AFF的面积2tan2b解设12||,||PFmPFn由椭圆定义可知，2m+n=a。在12PFF中，运用余弦定理有2222122cos4mnmnFFc可得221cosbmn，122222sin2sintan1cos2PFFbSmnb。（1）题型3圆锥曲线的焦点三角形4由此类比双曲线可得到：12FF、是椭圆22221xyab(0)ab的两个焦点，P是椭圆上任一点，12FPF求21FPF的面积。122cot2PFFSb（2）公式（1）、（2）对于焦点在y轴上的椭圆和双曲线同样成立。6、已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则.21cos2e证明：设,,2211rPFrPF则在21PFF中，由余弦定理得：1222242)(2cos212221221221212212221rrcarrcrrrrrrFFrr.2112221)2(222222222122eacarrca命题得证。7.焦点三角形中直角性质,,,2122221212121acaPFabPFcFFFPFPFPF的各边长度为定值：，则）若（cbybPFPFPFPFp222121,22，则：）若（典型例题：例8.椭圆14922yx的焦点为A,B，点P为其上动点，当APB为钝角时，点P横坐标的取值范围是____。例9.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则.12F、F2222:1(0)xyCababpC12PFPF12PFFb5例10.已知椭圆2221(1)xyaa的两个焦点分别为1F,2F,P为椭圆上一点,且1260FPF,则12||||PFPF的值等于．例11、已知双曲线方程为22143xy，12FF、是双曲线的两个焦点，P是双曲线上任一点，1260FPF求12AFF的面积。分析若是客观题，可直接代入焦点三角形面积公式得：122cot33332PFFSb例12.【2014大纲高考理第6题】已知椭圆C：22221xyab(0)ab的左、右焦点为1F、2F，离心率为33，过2F的直线l交C于A、B两点，若1AFB的周长为43，则C的方程为（）A．22132xyB．2213xyC．221128xyD．221124xy3．A[解析]根据题意，因为△AF1B的周长为43，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝43，所以a＝3.又因为椭圆的离心率e＝ca＝33，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1.6例13.设F1、F2是椭圆12322yx的左、右焦点，弦AB过F2，求1ABF△的面积的最大值。（法一）解：如图，设2(0)xFB，22||||AFmBFn，，根据椭圆的定义，1||23AFm，1||23BFn，又12||2FF，在ΔAF2F1和ΔBF2F1中应用余弦定理，2222(23)44cos(23)44cosmmmnnn，∴23cosm，23cosn，∴11211||||2()sin22FABBASFFyymn22()sin3cos3cos243sin2sin令sint，所以01t≤，∴21()22tgtttt在(01]，上是增函数∴当1t，即2时，max1()3gt，故1ABF△的面积的最大值为433．（法二）解：设AB：x=my+1，与椭圆2x2+3y2=6联立，消x得(2m2+3)y2+4my-4=0∵AB过椭圆内定点F2，∴Δ恒大于0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则Δ=48(m2+1)1ABFS=|y1-y2|=4322123mm=432221(23)mm令t=m2+1≥1，m2=t-1，则1ABFS=431144tt，t∈[1,+)f(t)=144tt在t∈[1,+)上单调递增，且f(t)∈[9,+)∴t=1即m=0时，ΔABF1的面积的最大值为433。注意：上述AB的设法：x=my+1，方程中的m相当于直线AB的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。[方法归纳]求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”1.2a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2aya≠0mx2＋ny2＝1m＞0，n＞0，m≠n为mx2－ny2＝1mn＞0.例14、已知椭圆1222yx，题型4圆锥曲线的中点弦F2F1AOBxyF2F1AOBxy7（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；解：设弦两端点分别为11yxM，，22yxN，，线段MN的中点yxR，，则（1）将21x，21y代入⑤，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342yx．⑥将⑥代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求．（2）将22121xxyy代入⑤得所求轨迹方程为：04yx．（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入⑤得所求轨迹方程为：022222yxyx．（椭圆内部分）例15、已知双曲线2212yx，经过点M(1,1)能否作出一条直线l，使与双曲线交于A,B两点，且点M是线段AB的中点，若存在这样的直线，求出方程，如果不存在，说明理由。【解析】法一：公式法假设存在这样的直线，当直线的斜率存在时，设其为k，套公式22.OMbkka解得k=2法二：导数法对双曲线进行求导得：'2202yxy，将M(1,1)代入得'2y，即k=2此时直线的方程为21yx，如果存在这条直线，则直线和双曲线必有两个交点，直线和方程联立得0，不符合有两个交点，故不存在这样的直线；当直线的斜率不存在时，直线的方程为1x不符合中点条件，故综上所述，不存在这样的直线例16、已知双曲线2213xy的右焦点是抛物线22(p0)ypx的焦点，直线ykmb与抛物线相交于A,B两个不同的点，点(2,2)M是AB的中点，则AOB的面积是（）.43A.313B.14C.23D[来源:学#科#网]④，③，②，①