文科二轮专题八圆锥曲线几何性质与方程解析

1第9讲圆锥曲线的定义、方程及性质热点题型真题统计命题规律题型1：圆锥曲线的定义、标准方程2017全国卷ⅢT14；2017全国卷ⅡT12；2014全国卷ⅠT101.每年必考内容，多以选择、填空题的形式考查圆锥曲线的定义、方程、性质，以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的综合问题.2.小题一般出现在5～12或14～15题的位置，难度中等偏上，解答题出现在20题的位置上，难度较大.题型2：圆锥曲线的性质及应用2018全国卷ⅠT4；2018全国卷ⅡT6；2018全国卷ⅠT112018全国卷ⅢT10；2017全国卷ⅠT5；2017全国卷ⅡT52017全国卷ⅠT12；2016全国卷ⅡT5；2016全国卷ⅢT122015全国卷ⅠT5；2015全国卷ⅡT16；2015全国卷ⅡT152014全国卷ⅠT4题型3：直线、圆与圆锥曲线的交汇2017卷ⅢT11；2014卷ⅠT20题型1圆锥曲线的定义、标准方程圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(直线l是抛物线的准线)．典型例题例1.(1)(2018·哈尔滨模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝______.(1)D(2)6[(1)根据题意画出草图如图所示，不妨设点A在渐近线y＝bax上．由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝bax上，∴ba＝tan60°＝3.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝3，∴双曲线的方程为x2－y23＝1.故选D.2(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.][方法归纳]求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”1.2a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2aya≠0mx2＋ny2＝1m＞0，n＞0，m≠n为mx2－ny2＝1mn＞0.即时训练1．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1相交且有共同的焦点，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是()A.y24－x25＝1B.y25－x24＝1C.x24－y25＝1D.x25－y24＝1A[法一：(定义法)椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．根据双曲线的定义知，2a＝|15－024－32－15－02＋[43]2|＝4，解得a＝2，又b2＝c2－a2＝5，所以所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.故选A.法二：(待定系数法)椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，则a2＋b2＝9.①又点(15，4)在双曲线上，所以16a2－15b2＝1.②由①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.故选A.]2．设椭圆x216＋y212＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足PF1→·PF2→＝9，则|PF1→|·|PF2→|的值为()A．8B．10C．12D．15D[因为P是椭圆x216＋y212＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，所以|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|3＝4.因为PF1→·PF2→＝9，所以|PF1→|·|PF2→|cos∠F1PF2＝9，因为|F1F2→|2＝|PF1→|2＋|PF2→|2－2|PF1→|·|PF2→|·cos∠F1PF2＝(|PF1→|＋|PF2→|)2－2|PF1→|·|PF2→|－2|PF1→|·|PF2→|cos∠F1PF2，所以64－2|PF1→|·|PF2→|－18＝16.所以|PF1→|·|PF2→|＝15，故选D.]1．椭圆、双曲线中，a，b，c，e之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为21abace；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为21abace.2．双曲线的渐近线方程与焦点坐标(1)双曲线0,012222babyax的渐近线方程为xaby；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)；(2)双曲线0,012222babxay的渐近线方程为xbay，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．注意离心率e与渐近线的斜率的关系．典型例题例2.(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：0,012222babyax的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.2B．2C.322D．22(2)(2018·沈阳模拟)已知双曲线0,012222babyax的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.x24－y24＝1B.x28－y28＝1C.x24－y28＝1D.x28－y24＝1(3)已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆0,012222babyax)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为()A.13B.12C.22D.33(1)D(2)B(3)C[(1)法一：由离心率e＝ca＝2，得c＝2a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22.故选D.题型2圆锥曲线的性质及应用4法二：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22.故选D.(2)由离心率为2可知a＝b，c＝2a，所以F(－2a,0)，由题意可知12--00-4aKPF，所以2a＝4，解得a＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1，故选B.(3)设椭圆的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，则由题意可知双曲线的方程为x2c2－y2b2＝1，其渐近线方程为y＝±bcx.因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，所以由椭圆的对称性可知，渐近线的方程为y＝±x，即b＝c，所以a＝b2＋c2＝2c，故椭圆的离心率22e，故选C.][方法归纳]1．求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．(2)用法：①可得ba或ab的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．③利用221abe求离心率．即时训练·1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为32的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()A．5B．6C．7D．8D[法一：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y＝23(x＋2)，由y＝23x＋2y2＝4x，得x2－5x＋45＝0，解得x＝1或x＝4，所以x＝1，y＝2或x＝4，y＝4，不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以FM→＝(0,2)，FN→＝(3,4)，所以FM→·FN→＝8.故选D.法二：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y＝23(x＋2)，由y＝23x＋2y2＝4x，得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＞0，y2＞0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以FM→＝(x1－1，y1)，FN→＝(x2－1，y2)，所以FM→·FN→＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.]2．(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为()A.2B.32C.3D．2A[法一：如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝b2a.又sin∠MF2F1＝13，所以|MF1||MF2|＝13，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝2b2a，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝ca＝2.法二：如图，因为MF1⊥x轴，所以|MF1|＝b2a.在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝13得tan∠MF2F1＝24.所以|MF1|2c＝24，即b22ac＝24，即c2－a22ac＝24，整理得c2－22ac－a2＝0，两边同除以a2得e2－22e－1＝0.解得e＝2(负值舍去)．]考向二、求椭圆的离心率（或范围）一、直接求出或求出a与b的比值，以求解ace。椭圆中离心率e的范围10e；ac，题型3直线、圆与圆锥曲线的交汇微专题：椭圆离心率6在椭圆中，，例13、在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率[解析]，，；练习11.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为3.若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆的离心率为4.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。5.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为。6..已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为7.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是8.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为。二、构造的齐次式，解出，运用方程思想，构造关于e的方程解出e。例14、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是解一、cAFcAFcFFABF334,332,221212是正三角形且caAFAF32221，33ace解二：由题意知AB为通径，abAB22，又因为CFF221,在正三角形ace22222221ababaacaceABC△3,2||,300ABCSABAAB，Ce3sin||||21AACABSABC32||AC2cos||||2||||||22AACABACABBC2132322||||||BCACABe3222)0,3(),0,1(21FF2112)0(,12222babyaxP21PFPFe22)0.0(121nmnm12222nymx2322221(0)xyabab1F2FxMN，12MNFF≤212，e22ac，e3372ABF中舍去解得即3330323322322222221eeeecaacabcABFF练习2：1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴