第二章化工系统的定常态模拟与分析2

2.2序贯模块法2.2.1序贯模块法的基本原理序贯模块法的基础是单元模块，通常单元模块与过程单元是一一对应的单元模块是依据相应过程单元的数学模型和求解算法编制而成的子程序单元模块具有单向性特点。图２－８过程单元与单元模块xFxVxL参数闪蒸模块xF序贯模块法的基本思想从系统入口物流开始，经过接受该物流变量的单元模块的计算得到输出物流变量，作为下一个相邻单元的输入物流变量。依此逐个的计算过程系统中的各个单元，最终计算出系统的输出物流。计算得出过程系统中所有的物流变量值，也即状态变量值。通常把输入物流变量及单元模块参数（回流比、几何尺寸等)作为决策变量。序贯模块法的求解与过程系统的结构是有关的。具有反馈联结的系统（不可分割子系统），需要用到断裂（Tearing）和收敛（Convergence）技术。图2-9具有反馈的系统与收敛单元235收敛模块235S1•收敛单元位置的选取•选取新的S4’数值，保证计算收敛，加速收敛2.2.2再循环物流的断裂（1）断裂的基本概念)12(0),(0),,,(0),,(0),(32,14432134322321xxxfxxxxfxxxfxxf2.2.2再循环物流的断裂（1）断裂的基本概念)12(0),(0),,,(0),,(0),(32,14432134322321xxxfxxxxfxxxfxxf求解方法1.联立方程组2.通过断裂进行降维X2→X3→X4→X1→X2把一个四维求解问题降阶成为了四个一维问题，从而减化了计算难度。这种通过迭代把高维方程组降阶为低维方程组的办法称为“断裂”。求解方法1.联立方程组2.通过断裂进行降维X2→X3→X4→X1→X2把一个四维求解问题降阶成为了四个一维问题，从而减化了计算难度。这种通过迭代把高维方程组降阶为低维方程组的办法称为“断裂”。有向图断裂点图2-10有向图选择不同的断裂物流，相应的迭代序列也不一样：FGFGSSSS11101110GFGFSSSS10111011图2-11不可分隔子系统•由于系统中各物流及其变量特性的不同，在收敛计算上常是有很大差异的。•如何选择断裂物流、确定迭代序列，是实施序贯模块法进行过程系统模拟计算中必须要解决的问题。（2）断裂方法的研究六十年代初，Rubin就提出了断裂的思想判断最佳断裂的准则分为四类①断裂的物流数最少；②断裂物流的变量数最少；③断裂物流的权重因子之和最少；④断裂回路的总次数最少。（2）断裂方法的研究六十年代初，Rubin就提出了断裂的思想判断最佳断裂的准则分为四类①断裂的物流数最少；②断裂物流的变量数最少；③断裂物流的权重因子之和最少；④断裂回路的总次数最少。Ρj,权重因子；i=1，…，m，代表回路；j=1，…，n,代表物流njjijnjjjxatsxMin11..ijijajjxijj属于回路流股不属于回路流股被断裂流股未断裂流股,1,0,1,0•约束方程的含义是每个回路至少要被断裂一次。•准则①设定ρj=1；•准则②令ρj为物流变量数；•准则③中ρj为可根据物流性质而取的选择值，如物流变量对计算过程灵敏度大小的估计值；•准则④的ρj等于每个断裂物流所切断的回路总数。（3）回路矩阵要断裂再循环物流，必须先识别再循环回路，并借助一定的方法描述它们。一个不可分隔子系统包含若干个再循环回路。包含两个及以上再循环物流，且其中的任何单元只被通过一次，称作简单回路（SimpleCycle）。Ⅰ－S1－Ⅱ－S2－Ⅲ－S4－Ⅱ－S2－Ⅲ－S5－Ⅰ构成的回路不是一个简单回路，因为其中的单元Ⅱ和单元Ⅲ被通过了两次。图2-12含有四个简单回路的不可分隔子系统s7s1s5ⅠⅡⅢⅣs6s4s2s3•过程系统中的简单回路可以用回路矩阵（Loop/StreamMatrix）表示。•表示方法：矩阵中的行代表回路，列代表物流。若某回路I中包括有物流j则相应的矩阵元素aji=1，否则为空白或零。图2-12中简单回路可用回路矩阵表示如下：7654321SSSSSSS111111111111DCBA美国加州大学的Upadhye等提出的，一种类似动态规划法的寻求最佳断裂物流的算法。为了对该不可分隔子系统的高维求解进行降维运算，须将该子系统中的某些回路进行断裂。达到断裂的方案并不是唯一的。需要解决的两个问题：一是要有一种能把所有的有效断裂物流组都能搜索出来的办法；二是要能把最优断裂组从中选择出来。（4）Upadyhe-Grens替代规则：令｛D1｝为一有效断裂组，Ai为全部输入流均属于｛D1｝的单元（至少有一个这样的单元存在，否则｛D1｝为无效断裂组）。将Ai的所有输入流用Ai的全部输出流替代，构成新的断裂组。令得到的新的断裂组为｛D2｝，则①｛D2｝也是有效断裂组；②对于直接迭代，｛D2｝与｛D1｝具有相同的收敛性质。由替代规则联系起来的所有断裂组的集合，定义为断裂族（5）寻求最优断裂组的算法①从任一有效断裂开始，运用替代规则：②如果在任何一步中出现有两次被断裂的物流（二次断裂组），则消去其中的重复物流。消去重复后断裂组则作为进行下一步的新起点。③重复步骤①、②，直到不再有二次断裂组出现，且每个“树枝”上有重复的断裂组出现时为止。从最后一个新的起点开始，其后出现的所有不重复的断裂组成为非多余断裂族。④非多余断裂族中总权值最小的断裂组为最优断裂组。物流权重因子1000110010011100100110001010DCBA2433292Wj7654321图2-13不可分隔子系统6423715单元1单元2单元3单元4(2)(3)(4)(9)(3)(2)(2)权重因子回路流股用Upadhye-Grens断裂法求图2-13中的最优断裂组单元输入流输出流15，6121，4，72323，4，5436，7从断裂组（S1,S2,S3）开始，反复利用替代规则S1S2S3S1S4S5S3S3S2{S1S2S6S7}S3S3{S1S4S5S6S7}S1S4S7{S2S5S6}S5S6S1S4S7S1S1S4S7{S2}{S3S4S5}S2S3{S4S5S6S7}S5S6{S1S4S7}非多余断裂族:断裂组｛S1，S4，S7｝为最优断裂组。通过断裂可以把不可分隔子系统中的回路物流打开，从而可以利用序贯模块法对该过程系统进行模拟计算。这种模拟计算的开始是首先要设定起始物流变量的猜值，计算的终点则在于该猜值与计算值的收敛。物流权重因子1000110010011100100110001010DCBA2433292Wj7654321图2-13不可分隔子系统6423715单元1单元2单元3单元4(2)(3)(4)(9)(3)(2)(2)权重因子回路流股用Upadhye-Grens断裂法求图2-13中的最优断裂组单元输入流输出流15，6121，4，72323，4，5436，7从断裂组（S1,S2,S3）开始，反复利用替代规则S1S2S3S1S4S5S3S3S2{S1S2S6S7}S3S3{S1S4S5S6S7}S1S4S7{S2S5S6}S5S6S1S4S7S1S1S4S7{S2}{S3S4S5}S2S3{S4S5S6S7}S5S6{S1S4S7}非多余断裂族:断裂组｛S1，S4，S7｝为最优断裂组。通过断裂可以把不可分隔子系统中的回路物流打开，从而可以利用序贯模块法对该过程系统进行模拟计算。这种模拟计算的开始是首先要设定起始物流变量的猜值，计算的终点则在于该猜值与计算值的收敛。物流权重因子1000110010011100100110001010DCBA2433292Wj7654321图2-13不可分隔子系统6423715单元1单元2单元3单元4(2)(3)(4)(9)(3)(2)(2)权重因子回路流股用Upadhye-Grens断裂法求图2-13中的最优断裂组单元输入流输出流15，6121，4，72323，4，5436，7从断裂组（S1,S2,S3）开始，反复利用替代规则S1S2S3S1S4S5S3S3S2{S1S2S6S7}S3S3{S1S4S5S6S7}S1S4S7{S2S5S6}S5S6S1S4S7S1S1S4S7{S2}{S3S4S5}S2S3{S4S5S6S7}S5S6{S1S4S7}非多余断裂族:断裂组｛S1，S4，S7｝为最优断裂组。通过断裂可以把不可分隔子系统中的回路物流打开，从而可以利用序贯模块法对该过程系统进行模拟计算。这种模拟计算的开始是首先要设定起始物流变量的猜值，计算的终点则在于该猜值与计算值的收敛。2.2.3断裂物流变量的收敛执行断裂物流变量收敛功能的模块称收敛单元模块X是断裂物流变量的猜值，y是经过程系统模型计算得出的断裂物流变量的计算值。断裂物流变量的收敛问题实际上是个迭代求解非线性方程组的问题x=y=G(x)图2－15不可分隔子系统的断裂物流过程系统(a)断裂流股(b)当断裂物流变量猜值x与计算值y之差小于收敛容差ε时y－x=G（x）－xε则x为断裂物流变量的收敛解收敛单元的功能总计有如下作用：(Ⅰ)获取猜值的初值x0(Ⅱ)根据计算值y，以一定的方法确定新的猜值x(Ⅲ)比较猜值x和计算值y，若其结果满足给定精度要求则结束迭代计算，否则继续迭代计算过程可见，收敛单元实质上就是一个数值迭代求解非线性方程组的子程序。求解非线性方程组的数值计算方法很多，适合于收敛单元的数值计算方法一般应尽可能满足下列要求：1.对初值的要求不高。1)初值易得，不易引起迭代计算的发散；2)初值的组数少。2.数值稳定性好x0x*(b)kx*x0(c)kx0x*(d)kx*x0(n)k图2-16，迭代过程的四种情况(a)单调收敛；（b）衰减振荡收敛；（c）振荡发散；（d）单调发散。k-为迭代次数；x0-为初值；x*-为迭代过程的解单调收敛衰减振荡振荡发散单调发散2.数值稳定性好x0x*(b)kx*x0(c)kx0x*(d)kx*x0(n)k图2-16，迭代过程的四种情况(a)单调收敛；（b）衰减振荡收敛；（c）振荡发散；（d）单调发散。k-为迭代次数；x0-为初值；x*-为迭代过程的解单调收敛衰减振荡振荡发散单调发散2.数值稳定性好x0x*(b)kx*x0(c)kx0x*(d)kx*x0(n)k图2-16，迭代过程的四种情况(a)单调收敛；（b）衰减振荡收敛；（c）振荡发散；（d）单调发散。k-为迭代次数；x0-为初值；x*-为迭代过程的解单调收敛衰减振荡振荡发散单调发散3.收敛速度快对收敛速度的影响主要有三个因素：迭代次数；函数G（x）的计算次数；矩阵求逆的次数。每计算一次函数值就相当于做一次流程回路的模拟计算,每求一次导数就要做两次流程模拟计算对于断裂物流的收敛，好的非线性方程组的数值迭代次数少，而且应该尽量避免导数计算和矩阵求逆4.占用计算机存储空间少xxGxxG)()(　　　方法系统直接迭代法有界Wegstein法主特征值法Broyden法CHESS√√CAPES√√√CONCEPT√FLOWTRAN√ASPEN√√√一些过程模拟系统计算中采用的迭代方法直接迭代法直接迭代法是将计算值yk作为下一轮迭代的猜值xk+1而实施迭代计算xK+1=yK,即xk+1＝G（xk）非线性方程组x=y=G(x)的另外一种形式为F(x)＝x－G(x)=0→xk+1＝xk＋F(xk)与牛顿公式相比较：)()(11kxxkkxFxFxxk直接迭代法的雅可比矩阵为单位矩阵优点：方法简单，只需要一组初值，不需计算导数和逆矩阵弱点：迭代次数多、收敛速度慢，对初值要求较高例:用直接迭代法求解下列方程组25.0135.023212235.031/)33()81(/)4(xxxxxxxxx解：令猜值为X1＝2；X2＝10；X3＝5kkx1kx2kx31210520.54887.21113.158631.52298.40964.47354