毕业论文《几类常见的不可数集合证明》

长春师范学院本科毕业论文（设计）1几类常见的不可数集合证明摘要：文中首先介绍实变函数论的背景、由来和在数学领域中的作用,并由实变函数引出其最为基础的可数集合和不可数集合.最后给出本文的主要内容---几种常见的不可数集合及其证明方法.本文多次利用反证法证明一个集合是否为不可数集合,并对几种常见的不可数集合证明方法作一个总结归纳.关键词：可数集不可数集合无理数集实数集合康托尔集在大学,我有幸接触到了《实变函数论》.对于这门课程,初次接触就被它的高深和精细所吸引.“实变函数”是以实数作为自变量的函数,它和古典的数学分析是不同的,它不仅是一种比较高深和精细的理论,还是数学的一个重要分支，而且它的应用非常广泛.在《实变函数论》中,可数集与不可数集合是最为基本的知识.之所以选择它们来进行研究,主要考虑到以下几个方面：首先,不可数集合虽然是实变函数课程中最为基本的内容,但也是最繁琐的内容.本文旨在对几种常见的不可数集合证明方法作出总结和归纳,以达到化繁为简的目的.其次,不可数集合已经成为某些数学领域的重要工具,而且它在各个数学领域之中的应用,对于形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响.其中康托尔集在现代物理学科研究领域上也被广泛应用.基于以上几点,本文专门对常见的不可数集合证明方法作出总结.下面就让我们先来认识一下可数集和不可数集：1可数集和不可数集的定义和性质1.1可数集和不可数集的定义定义1.1凡和全体正整数所成之集合N对等的集合都称为可数集合或者可列集合.长春师范学院本科毕业论文（设计）2由于N可按大小顺序排列成一无穷序列：1,2,3,…,n…,因此,一个集合A是可数集合的充要条件为:A可以排成一个无穷序列：1a,2a,3a,…,na,….例如,全体正偶数的集合是一个可数集,全体正奇数的集合也是可数集,它们与自然数集可以建立如下的一一对应.自然数1,2,3,4,5,6,…,n,…,正偶数2,4,6,8,10,12,…,2n,…,正奇数1,3,5,7,9,11,…,2n－1,….这说明一个可数集可以含有可数的真子集,反过来,两个可数集也可以并成一个可数集.整数集与有理数集都是可数集.定义1.2不是可数集合的无限集合我们称为不可数集合.不可数集是无穷集合中的一种.一个无穷集合和整数集合之间要是不存在一个双射（不存在一一对应关系和法则）,那么它就是一个不可数集.譬如无理数集就是不可数集.1.2可数集和不可数集的性质可数集的性质：(1)任何无限集合都至少包含一个可数子集.(2)可数集合的任何无限子集必为可数集合,从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集.(3)设A为可数集,B为有限或可数集,则AB为可数集.(4)设,...3,2,1iAi都是可数集,则1iiA也是可数集.(5)设niAi,...,2,1是有限集或可数集,则niiA1也是有限集或可数集,但长春师范学院本科毕业论文（设计）3如果至少有一个iA是可数集,则niiA1必为可数集.(6)有理数全体成一可数集合.(7)若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集A=nxxxa,...,,21,,...,2,1,...;,)2()1(nkxxxkkk则A为可数集.(8)代数数的全体成一可数集.不可数集的性质：(1)全体实数所成之集合R是一个不可数集合.(2)任意区间,0,,0,,,,,,bababa均具有连续基数c.（这里ba）.(3)设,...,...,,21nAAA是一列互不相交的集合,它们的基数均为c,则它们的和集的基数也为c.(4)实数列全体E∞的基数为c.(5)n维欧几里得空间nR的基数为c.(6)设M是任意的一个集合,它的所有子集作成新的集合则M.(7)若用c表示全体实数所成集合R的基数,用a表示全体正整数所成集合N的基数,则ca.(8)设有c个（c表示连续基数）集的并集,若每个集的基数都是c,则其和集的基数也是c.2全体实数所成之集合R是一个不可数集合实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.通俗地认为,包含所有有理数和无理数的集合就是实数集.18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来.但当时的实数集并没有精确的定义.直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.定义是由四组公理为基础的：加法公理；乘法公理；序公理；完备公理；符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集,实数集的元素就是实数.定理2.1全体实数所成之集合R是一个不可数集合.长春师范学院本科毕业论文（设计）4证法一用反证法证明.因为实数集合与1,0是有一一对应的,故只需说明1,0不可数就可以了.因为f：1,0→R是双射函数,令S={x|x∈R(0x1)},若能证S是不可数集,则R也必为不可数集.假设S是可数的,则S必可表示为：S＝{1S,2S,…},其中iS是1,0区间的任意实数.设iS＝.....0321yyy,其中iy∈9,...,2,1,0,设.......011312111naaaaS,.......022322212naaaaS,.......033332313naaaaS,……………………其次,我们构造一个实数r=....0321bbb使．，，，1121jjjjjaab,....2,1j.这样,r与所有实数,...,...,,21nSSS不同,这证明了rS,与假设产生矛盾,因此S是不可数的,即R是不可数集.在第二种证明方法之前先来回顾一下闭区间套定义以及定理.定义2.1设有一闭区间列,,nnba具有如下性质:(1)；，，，...21,,11nbabannnn(2)0limnnnab则称这闭区间列,,nnba为一个闭区间套,或简称区间套.定理2.2若nnba,是一区间套,则存在唯一的，R使得na,nb，）（,...2,1n,即）（,...2,1nbann.下面我们利用闭区间套定义和定理来证明实数集合是不可数集合.长春师范学院本科毕业论文（设计）5证法二用闭区间套定理证明.假设1,0是可数集,则可设1,0=,...,...,,21naaa记0I=1,0,在0I内作一闭区间1I,使其长度|1I|21且1a1I；然后又在1I内作一闭区间2I,使得|2I|221且2a2I.一般说来，设已经作好了一个包含一个闭区间：0I1I…nI,|iI|i21,iaiI(ni，，，...21),取1nInI,且满足|1nI|121n,1na1nI.根据归纳法,我们就得到了一个区间套：0I1I…nI…,|nI|n21,nanI(，，21n…)因为n210(n),所以由区间套定理,存在点nI(，，21n…).由于nanI,故na(，，21n…).但0I,因而是1,0中的点,因此,1,0,...,...,,21naaa.这与假设矛盾,因此1,0是不可数集合.证法三利用Lebesgue测度证明.假设1,0可以排成一个序列：1,0=,...,...,,21naaa.利用Lebesgue测度知识,知11,0m.而实际上0,...,...,,21naaam.两者是矛盾的,所以1,0是不可数集.证法四利用Baire纲定理证明.把闭区间1,0看作完备度量空间1R(一维Euclid空间）的闭子集.由于完备长春师范学院本科毕业论文（设计）6空间内的闭集本身构成完备的子空间,所以1,0是一完备子空间.一方面,由Baire纲定理,我们知道任一完备空间是第二纲的,所以1,0是第二纲集；另一方面,由于单点集是1,0中的疏朗集.假若1,0是可数集,则它可表示为可数个疏朗集的并,从而为第一纲集.这便推出了矛盾.这样就证明了1,0是不可数集.证法五利用单调有界法则证明.假设1,0是可数集,令1,0=,...,...,,21naaa.现构造递归数列如下：令01X,，若，，若，nnnnnnnnnnXaXXaXX323232121，n,…,则｛Xn｝显然是递增数列,且1X=0,Xn1nX+132n1223232nnnX…321X…+123232nn1...32，，n根据单调有界法则,10lim，且XXXnn,但X不等于任一na.假若不然,则有某个ra=X,下面分两种情形讨论：(1)若rarX+r32,则X=nnX1sup1rX=rX+r32ra,这与X=ra矛盾.(2)若rarX+r32,则此时有1rX=rX,2rX1rX+232r=rX+132r,……………………………,krX1132krkrX1223232krkrkrX…rX+132r…+123232krkr令k,两边取极限得：长春师范学院本科毕业论文（设计）7X=krkXlimrX+311321r=rX+r31.故rarX+r32rX+r31X.这也与X=ra矛盾.因此,不论哪种情形,总有Xna(...21，，n).所以,1,0,...,...,,21naaa.这与假设矛盾,从而1,0是不可数集合.3其它几类常见的不可数集证明其它几类常见的不可数集合有：无理数集、康托尔集、可数集的幂集等等.3.1无理数集是一个不可数集合无理数集是由全体无理数所组成的集合.无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环.常见的无理数有大多数平方根、和e（其中后两者同时为超越数）等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式.定理3.1无理数集是一个不可数集合.证明第一步,先证明有理数集是可数集：设...321，，，iiiAi...321，，，i,则iA是可数集,由可数集的性质(4)我们知道全体正有理数成一可数集1iiAQ.因正负有理数通过rr,成为1—1对应.故全体负有理数成一可数集Q,但有理数全体所成之集合QQQ0,所以由可数集的性质(5)知Q为可数集.第二步,再证有限个可数集的并集还是可数集.容易找到一种有限个可数集iA的排列顺序:,...,,,141312111aaaaA,长春师范学院本科毕业论文（设计）8↙↗↙,...,,,242322212aaaaA,↓↗↙,...,,,343332313aaaaA,↙,...,,,444342414aaaaA↓………………………….按照箭头顺序可将1iiA排成:1iiA=,...,,,,,,14132231211211aaaaaaa因此,1iiA是可数集.第三步,接着证明实数集是不可数集.关于这个证明本文在前面已经给出了很多种证明方法,在此就不赘述了，基本上都是用反证法,即先用一种排列来表示实数集,再由这种表示法推出一定有一个实数不能被这种排列所表示,由此推出矛盾.第四步,证明无理数集是不可数集.用反证法证明.假设无理数集是可数集,在第一步我们已经证出有理数集是可数集,那么实数集也应该是可数集(实数集等于有理数与无理数的并).而第三步我们已经证出了实数集是不可数集,与假设矛盾.所以无理数集是不可数集.证毕.3.2Cantor集是一个不可数集合Cantor集,又称三分集.是位于一条线段上的一些点的集合,具有许多显著和深刻的性质,常常是集合论中构造特例的基础.最常见的构造是康托尔三分点集,长春师范学院本科毕业论文（设计）9由不断地去掉一条线段的中间三分之一得出.著名的康托尔集是这样构成的：定义3.1(1)设闭区间1,0R,将1,0三等分