您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 管理学资料 > 第三讲-有限元分析过程及例题讲解
汽车结构有限元分析王童长安大学汽车学院电话:17792594186邮箱:wangtong@chd.edu.cn长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn第三讲有限元分析过程及例题讲解1.有限元分析的一般过程概述2.分析过程的分步详解3.典型例题分析长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn1.有限元分析的一般过程概述(1)结构离散化将结构或零件人为地划分成有限个子域(这些子域称为单元),假定单元之间通过有限个点相互连接(这些连接点被称做节点)。长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn(2)选择位移插值函数在单元内选择一个简单的位移插值函数,将单元内任意点的位移表示为节点位移的插值形式(3)单元分析推导单元刚度矩阵和等效节点载荷向量(4)整体分析组装单元矩阵,形成结构总体刚度矩阵(5)约束处理引入边界条件,消除刚体位移,使方程具有唯一解(6)方程求解求解方程,获得结构未知各节点位移(7)计算应力由节点位移计算单元应变,再由胡克定律,计算单元应力][eK][eP视频长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn(1)结构的离散化将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元,并通过有限个节点相互连接的离散系统。这一步要解决以下几个方面的问题:①选择一个适当的参考系,既要考虑到工程设计习惯,又要照顾到建立模型的方便。②根据结构的特点,选择不同类型的单元。对复合结构可能同时用到多种类型的单元,此时还需要考虑不同类型单元的连接处理等问题。③根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求,合理确定单元的尺寸和阶次。④根据工程需要,确定分析类型和计算工况。要考虑参数区间及确定最危险工况等问题。⑤根据结构的实际支撑情况及受载状态,确定各工况的边界约束和有效计算载荷。2.分析过程的分步详解长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值函数,并利用节点处的位移连续性条件,将位移插值函数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形式。{}[]{}eQNU⋅=位移插值函数需要满足相容(协调)条件,采用多项式形式的位移插值函数,这一条件始终可以满足。但近年来有人提出了一些新的位移插值函数,如:三角函数、样条函数及双曲函数等,此时需要检查是否满足相容条件。(2)选择位移插值函数A.位移插值函数的要求长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn形函数的性质:1)相关节点处的值为1,不相关节点处的值为0。2)形函数之和恒等于1。B.位移插值函数的收敛性(完备性)要求:1)位移插值函数必须包含常应变状态。2)位移插值函数必须包含刚体位移。C.复杂单元形函数的构造:对于高阶复杂单元,利用节点处的位移连续性条件求解形函数,实际上是不可行的。因此在实际应用中更多的情况下是利用形函数的性质来构造形函数。[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=eeLxLxN,1以阶梯轴的形函数为例eLxN−=11eLxN=2两个形函数分别为在节点有:i在节点有:j⎩⎨⎧==0121NN⎩⎨⎧==1021NN在任何点有:121=+NN这里我们称为的相关节点,为的相关节点,其它点均为不相关节点。ij1N2N长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn使用最小势能原理,需要计算结构势能,由弹性应变能和外力虚功两部分构成。结构已经被离散,弹性应变能可以由单元弹性应变能叠加得到,外力虚功中的体力、面力都是分布在单元上的,也可以采用叠加计算。A.计算单元弹性应变能{}{}dVTVee⋅=∏∫∫∫σε21——单元体积eV{}[]{}[][]{}eQNu⋅⋅∇=∇=ε由几何关系代入前式有:{}[][][]{}{}[][][]{}eVTTeeTTVeeQdVBDBQdVQBDBQee⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⋅=⋅⋅⋅=∏∫∫∫∫∫∫2121令:[][][][]dVBDBKTVee⋅⋅=∫∫∫称单元刚度矩阵,简称单刚这样单元弹性应变能可以表示为:{}[]{}eeTeeQKQ⋅⋅=∏21(3)单元分析目的:计算单元弹性应变能和外力虚功。[][][]NB⋅∇=长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cnB.计算单元外力功{}{}{}[]{}{}[]{}dVFNQdVFNQdVFuWbTVTebTTVebTVebeee⋅=⋅=⋅=∫∫∫∫∫∫∫∫∫{}[]{}dVFNPbTVebe⋅=∫∫∫{}{}ebTeebPQW=1)体力虚功令:称单元等效体力载荷向量单元体力虚功可以表示为:{}{}{}[]{}{}[]{}∫∫∫∫∫∫⋅=⋅=⋅=eeeAsTTesTTAesTAesdAFNQdAFNQdAFuW1112)表面力虚功——单元上外力已知的表面,注意!这里只考虑结构的边界表面eA1{}[]{}∫∫⋅=eAsTesdAFNP1令:称单元等效面力载荷向量单元表面力虚功可以表示为:{}{}esTeesPQW=长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn3)节点力虚功{}{}eiTeenPQW=从前面推导可以看出:单元弹性应变能可计算的部分只有单元刚度矩阵,单元外力虚功可计算的部分只有单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。在实际分析时并不需要进行上述推导,只需要将假定的位移插值函数代入本节推导得出的单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量的计算公式即可。所以我们说有限元分析的第三步是计算单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。几点说明:1)单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三各重要特性。所谓正定性指所有对角线元素都是正数,其物理意义是位移方向与载荷方向一致;奇异性是说单元刚度矩阵不满秩是奇异矩阵,其物理意义是单元含有刚体位移;对称性是说单元刚度矩阵是对称矩阵,程序设计时可以充分利用。2)按照本节公式计算的单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量称为一致载荷向量。实际分析时有时也采用静力学原理计算单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量,实际应用表明在大多数情况下,这样做可以简化计算,同时又基本上不影响分析结果。长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn(4)整体分析目的:计算整个结构的势能,代入最小势能原理:A.计算整个结构的弹性应变能。{}[]{}{}[]{}{}[](){}QKQQKQQKQeTneeTneeeTenee⋅=⋅⋅=⋅⋅=∏=∏∑∑∑∑===~21~2121111令:[][]∑=eKK~——结构整体刚度矩阵(总刚)此时结构的弹性应变能可以表示为:{}[]{}QKQT⋅=∏21结构的弹性应变能可计算的部分只有[]K所以我们说,结构的弹性应变能的计算就归结为总刚的计算。长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cnB.计算整个结构的外力虚功。{}{}{}{}{}{}{}{}iTneesTeneebTeiTneesneebPPQPQPQPQ=++=∑∑∑∑====1111将变换形式写成{}{}ebTePQ,{}{}ebTPQ~,将变换形式写成{}{}esTePQ,{}{}esTPQ~,外力虚功可以表示为:{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=++=∑∑∑∑====ineesneebTiTneesTneebTpPPPQPQPQPQW1111~~~~令:——结构整体等效节点载荷向量{}{}{}{}ineesneebPPPP++=∑∑==11~~外力虚功可以进一步表示为:{}{}PQWTP=结构的外力虚功可计算的部分只有{}P所以我们说,结构的外力虚功可计算就归结为结构整体等效节点载荷向量的计算。长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cnC.计算整个结构的势能并代入最小势能原理。将结构弹性应变能及外力虚功的表达式代入结构势能表达式,则结构的势能可以表示为:{}[]{}{}{}PQQKQTT−⋅=∏21将上式代入泛函的极值条件或0=∂∏∂iQ{}{}0=∂∏∂TQ可以得到[]{}{}{}0=−⋅PQK移项后有[]{}{}PQK=⋅——结构近似平衡方程。结构近似平衡方程的物理意义与平衡微分方程等价,但该方程放松了对平衡的要求,给出的仅仅是近似的平衡条件。这非常有利于进行近似求解。长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cnD.实际应用时结构近似平衡方程的生成实际应用时我们完全可以根据单元刚度矩阵、单元等效体力载荷向量、单元等效面力载荷向量及节点集中载荷向量直接生成结构近似平衡方程,现在举例说明生成过程。例图示桁架结构,各节点自由度编号如图:12341Q2Q3Q4Q5Q6Q7Q8Q①②③④xy长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn1Q2Q3Q4Q5Q6Q7Q8Q1234①②③④xy⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→→→→64532211QQQQQQQQeeee局部自由度与整体自由度的对应关系为①eQ1eQ2eQ3eQ4以单元①为例长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡eeeeeeeeeeeeeeeeKKKKKKKKKKKKKKKK44434241343332312423222114131211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡88878685848382817877767574737271686766656463626158575655545352514847464544434241383736353433323128272625242322211817161514131211KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK11QQe↓22QQe↓53QQe↓64QQe↓22QQe→11QQe→64QQe→53QQe→eK3453QQe←64QQe↓5634KKe→eK2353QQe→22QQe→2523KKe→注意要用累加运算!eKKK232525+=累加前总刚要清零!长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cnE.整体刚度矩阵的性质1)稀疏性整体刚度矩阵是一个大型稀疏矩阵,非零元素不到10%,对于大型实际问题可能只有2%~5%。3)对称性整体刚度矩阵也是是对称矩阵。程序设计时可以充分利用这些特性来达到节约内存,提高计算效率的目的。例如:实际程序中通常采用半三角存储、一维等带宽存储和一维变带宽存储等紧缩存储方案。2)带状分布带状分布是说整体刚度矩阵的非零元素全都分布在对角线附近的一个带状区域内。带状区域的宽度称为带宽,它与模型的节点编序有关,合理的节点编号,可以减小带宽。因此,很多有限元前处理软件都有带宽优化模块。长安大学汽车学院车辆工程系王童Tel:17792594186Email:wangtong@chd.edu.cn(5)约束处理引入已知位移边界条件,消除刚体位移,使方程具有唯一解。[]{}{}PQK~~~=⋅(7)计算单元应力{}[]{}[][]{}eQBDD⋅⋅=⋅=εσ一般来说
本文标题:第三讲-有限元分析过程及例题讲解
链接地址:https://www.777doc.com/doc-5739542 .html