《等差数列》教案(第一课时)全面版

《等差数列》教案（第一课时）王爱芬【教学目标】1.知识目标：⑴．通过实例建立等差数列模型，体验数学发现与创造的过程，会根据等差数列的定义判断一个数列是不是等差数列。⑵.通过自主探究等差数列的通项公式、第二通项公式，培养学生自主学习能力和创新意识。⑶．会根据通项公式，解决已知danan,,,四个量中的任意三个求另一个的问题，并从中领悟方程思想指导解题。⑷.在应用等差数列概念和通项公式解决实际问题的过程中，体会等差数列在日常生活中的广泛应用，培养学生的学习兴趣。2.能力目标：让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。3.情感目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。【教学重难点】1.教学重点：等差数列的概念的理解，探索并掌握等差数列通项公式的推导及应用。2.教学难点：探索并掌握等差数列通项公式的推导及应用。【教学方法】讲练结合。在讲解过程中适当诱导学生思考问题、积极讨论问题，这样不仅可以充分调动学生积极性而且有利于重、难点的突破。在课中多留时间给学生自己练习，使学生在练习中掌握并巩固所学知识。【教学过程】【等差数列的概念教学】一、创设问题情境（绕口令）：一只青蛙一张嘴、两只眼睛四条腿，两只青蛙两张嘴、四只眼睛八条腿，三只青蛙三张嘴、六只眼睛十二条腿………我们把青蛙的嘴巴、眼睛、腿的数量依次排列起来就得到3个数列：①1,2,3,4,5,6,7,….②2,4,6,8,10,12,14,….③4,8,12,16,20,24,28….问题1：你能发现这三个数列项与项之间存在什么共同的特征吗？能用语言来描述它吗？问题2：你能用数学符号语言来刻画这一特征吗？设计意图：①通过绕口令形式引入，在课的一开始吸引学生注意让全班同学共同参与。②问题1、问题2启发学生从何处观察数列、如何用语言概括观察结果、进一步如何用数学符号语言描述，步步深入，层层递进，培养学生的归纳、概括能力。二、概念建构（一）讨论请大家通过小组讨论交流，回答上述问题1、问题2尝试归纳总结出等差数列的定义.（二）概念的形成定义：一般地，如果一个数列{}na，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示.（三）分析定义，深化理解①定义中的关键字。上述三个数列中公差是什么？②在理解概念的基础上，引导学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出等差数列的数学表达式：)2,(1nNnddaann且是常数(加深对概念的理解，适度的形式化也是新课程基本理念之一)。（四）反馈判断下列数列是否为等差数列，如果是公差为多少？①9,8,7,6,5，4，…②1,1,1,1,1,1,1，…③1,3,4,5,6,7,8,9,10.，…④1,0,1,0,1,0,1,0,1,0，…设计意图：及时反馈学生对定义的理解，并通过例题体现定义中的关键字“从第二项起”、“同一个常数”。让学生体会公差可为正数、负数、零。【等差数列的通项公式的教学】一、公式推导如果等差数列na首项是1a，公差是d，那么这个等差数列432,,aaa如何表示？na呢？（步步为营，层层推进）根据等差数列的定义可得：daa12，daa23，daa34，…。所以：daa12，32112aadaddad，431123aadaddad，……由此完成1()naad填空（学生易归纳填出），得dnaan)1(1…(*)，这是等差数列的通项公式吗？（让学生回答）当1n时，对(*)式两边均为1a,即等式也成立，说明(*)式对*Nn都成立，因此等差数列的通项公式就是:dnaan)1(1，*Nn（至此指出）上面求通项公式的方法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，因此我们有必要寻求更为严密的推导方法。根据等差数列的定义可得：daa12daa23……dnaan)1(1daann21daann1将以上n个式子相加得1(1)naand（该过程应体现探索）。这种求通项公式的方法叫迭加法。（让学生体验数学知识的形成过程。）二、公式理解通项公式含有nanda,,,1这4个量，已知三个量，第4个量就是未知数，通项公式就是方程，解方程就可以求出第4个量。即利用方程的思想“知三可求一”。如在等差数列中，715,2ada求（公式简单的初步印象）。三、尝试应用例１．（1）求等差数列8,5,2，…的第20项。变式：。，求该数列的通项公式，，为：如果等差数列的前三项321a1-aa279na成立，实质上是要求方程279na的正整数解。评注：本小题的设计意图是熟悉公式的“正用”（2）401是不是等差数列？的项？如果是是第几项13,9,5评注：本小题是问题（1）的逆向问题。利用方程的思想解决。【跟踪练习】1；100是不是等差数列16,9,2的项，若是，是第几项？95呢？2；课本39页练习题1已知}{na是一个等差数列，请在下表中填入适当的数.（方程思想，求基本量）1a3a5a7ad-782-6.5四、公式的深化与推广例2．已知等差数列na中，,25,10155aa求25a的值。解：1512515144403142aaadaaadd。解方程组比较麻烦，可否避免？发现：ddaa)515(10515——是一种巧合，还是对任意的两项差都满足？请同学们思考：在公差为d的等差数列na中，na与ma有何关系？分析：dmnaadmnaamnmndnaadmaanm)()({)1()1(11（证实并非巧合）mnaadmn。比较1(1)naand与mnaamnd发现，前式是后式的特例，后式是前式的推广。也把mnaamnd叫做等差数列的第二通项公式。（在dmnaamn)(后板书：等差数列的第二通项公式）请用上述公式再解例2。解法二：由151010aad即251010d得1015d，所以251510251540aad。【跟踪练习】在等差数列na中,已知105a，3112a,则na；例3某市出租车的计价标准为2.1元/km，起步价为十元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？设计意图：此题的目的是让学生学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题，让学生感受数学与实际的联系。【跟踪练习】课本39页第2题五、归纳小结提炼精华本节课主要学习了：一个定义：)2,(1nNnddaann且是常数两个公式：dnaan)1(1，dmnaamn)(一种思想：方程思想六、课后作业运用巩固课本P40习题2.2第1题补充：1.在等差数列na中，已知a１=-2，10a是第一个大于1的项。求公差d的取值范围。2.在等差数列na中,已知167a，求下列各式的值：(为下节课研究等差数列的性质做铺垫)（1）86aa；（2）113aa七、板书设计一、等差数列的定义通项公式的推导例题与练习二、等差数列的通项公式八、课后反思：数学公式只是一些符号，学生记忆容易，但用起来困难，因此，公式的记忆要借助于对知识点的理解。在本节的教学中，我以一个绕口令引入课题，设置的问题由易到难，在解决问题过程中，一步一步引向本节的课题，让学生在问题中寻找规律、方法，并加以总结，最后得到等差数列的通项公式。在课堂练习中，增加讨论、小节这一环节，帮助学生提高认识、归纳方法。教学思路清晰、明确，学生对问题的回答也比较踊跃，对一些基本问题，学生能按照要求转化为首项和公差来处理，较好地完成了课前预设的目标。但由于在教学的过程中要留充分时间给学生自己讨论归纳公式，使得在教学过程中内容上的处理有点紧凑，过于追求教学的量，在教学、训练中侧重于方法的指导而忽略了过程的详细讲解，对学生的计算能力、变形能力会产生不利影响，这一点，在第二天的作业中就体现出来。你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。（舞低杨柳楼心月歌尽桃花扇底风）我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。你必得一个人和日月星辰对话，和江河湖海晤谈，和每一棵树握手，和每一株草耳鬓厮磨，你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白，为什么不管做了多么明智合理的选择，在结果出来之前，谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的，只是坚信那个选择，尽量不留下后悔而已。看不见的，是不是就等于不存在？记住的，是不是永远不会消失？每一个黄昏过后，大家焦虑地等待，却再也没有等到月亮升起。潮水慢慢平静下来，海洋凝固成一面漆黑的水镜，没有月亮的夜晚，世界变得清冷幽寂．但是，最深的黑夜即将过去，月亮出来了……记忆的冰川在岁月的侵蚀下，渐渐崩塌消融。保持着最初的晶莹的往事，已经越来越稀少。灼灼其华，非我桃花。苍苍蒹葭，覆我其霜。芦荻不美，桃花艳妖。知我怜我，始觉爱呵。只要春天还在我就不会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还可以重新回来只要生命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存只要明天还在我就不会悲哀冬雪终会悄悄融化春雷定将滚滚而来孤独，寂静，在两条竹篱笆之中，篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。一袭粉色拖地蝶园纱裙，长发垂至脚踝，青丝随风舞动。眸若点漆，水灵动人，冰肤莹彻，气质脱俗，眼波转动间却暗藏睿智锋芒。淡雅如仙，迎风而立的她，宛若来自天堂的。暖有时候猛烈地指责别人说谎，其实是太渴望那消息真实。原来时间也会失误和出现意外，并因此迸裂，在某个房间里留下永恒的片段。尘世里，总有些什么，让我们不自觉地微笑，使我们的坚硬，在一瞬间变得柔软。婴儿的梦呓，幼童的稚语，夕阳下相互搀扶的老人.......那天黄昏，紫岚在栖身的石洞口默黩地注视着落日。余晖变幻着色调，嫣红、水红、玫瑰红，转瞬便消失在天涯尽头；草原被铅灰色的暮霭垄断了，苍茫沉静。孔明灯真的很漂亮，就像是星星流过天河的声音。你既然已经做出了选择，又何必去问为什么选择。原来岁月太长，可以丰富，可以荒凉。能忘掉结果，未能忘掉遇上。我不可抑制地在脑海勾勒这样的景象：黄昏。风。无垠的旷野。一棵树。----就那么一棵树，孤零零的。风吹动它的每一片叶子，每一片叶子，都在骨头里作响。天高路远，是永不能抵达的摸样......孤单时，仍要守护心中的思念，有阴影的地方，必定有光最好的时光，是经由记忆粉饰的过往。我们会不由自主地忘记伤痛，欢天喜地地投向下一个天国。过往的人事，在前行的途中偶尔显身于记忆，又不可挽留地悄然远去。谁也阻止不了忘记的步伐每一次的离别都在夏天，明明是最火热的季节，却承载着最盛大的离别。睡着你的秘密，醒着你的自由。它的篱笆结实而疏朗，有清风徐徐穿过。人生有很多选择，一个选择又决定下个选择，所以，选择的时候只要是自己内心所想的，也值了，怕的就是，明明不愿意，又不得不选择。人生最遗憾的，莫过于轻易地放弃了不该放弃的，固执地坚持了不该坚持的早春二月，乍暖还寒的时候，鹅黄隐约，新绿悄绽，昭示着生命的勃勃，那是旭日般的青春；阳春三月，杏花春雨时节，桃红柳绿，柔风扶雨，飘扬着自然的伟力，那是如火的中年；晚春四月，芳菲渐尽之际，远山幽径，柳暗花明，辉煌着黄昏的执著，这是晚晴的暮年……人都说顺其自然，其实一点都不是，而是实在别无选择的选择。有个地方，名为汴梁，那年桃花肆意，旧年，桃花消散在汴梁。桃花十八年，繁华再现，桃花盛开三千夜，只需花颜亦墨离