2000-2013年历年上海市初中数学竞赛(新知杯)试卷(另含详解)

2013上海市初中数学竞赛(新知杯)一、填空题(每题10分)1)已知721,721ba，则.________33bbaa2)已知43214321//////,//////mmmmllll，._______,20,100EFGHILKJABCDSSS则3)已知FEACABA、，,8,690在AB上且3,2BFAE过点E作AC的平行线交BC于D，FD的延长线交AC的延长线于G，则.__________GF4)已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321xfaaaaa为二次三项式；当1ax或者5432aaaax时，5)(xf，当21aax时，,)(pxf当543aaax时，qxf)(，则.________qp5)已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为___________.6)已知关于x的一元二次方程0)2)(1(2mmaxx对于任意的实数a都有实数根，则m的取值范围是_________________.7)已知四边形ABCD的面积为2013，E为AD上一点，CDEABEBCE,,的重心分别为321,,GGG，那么321GGG的面积为________________.8)直角三角形斜边AB上的高3CD，延长DC到P使得2CP，过B作APBF交CD于E，交AP于F，则._________DE二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分）9)已知90BAC，四边形ADEF是正方形且边长为1，求CABCAB111的最大值.10)已知a是不为0的实数，求解方程组：axyxyayxxy111)已知：,1nnaaaa,,,,321为整数且2013321321nnaaaaaaaa，求n的最小值.12)已知正整数dca、、、b满足),13(),13(22dcbdca求所有满足条件的d的值.答案：2012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2012年12月9日上午9:00~11:00）题号一（1~8）二总分9101112得分评卷复核解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每题10分，共80分）1.已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则直线与之间的距离为_____________。2.同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则的值为______________。3.在平面直角坐标系中，已知点（，），点在直线上，使得是等腰三角形，则点的坐标是____________________。4.在矩形中，。点分别在上，使得。是矩形内部的一点，若四边形的面积为，则四边形的面积等于_______________。5.使得是素数的整数共有___________个。6.平面上一动点到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值时，_____________。7.已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为________________。8.将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前项的和，则___________。（这里表示不超过实数的最大整数。）二、解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分）9.如图，是正方形内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为。已知，求证：或者，或者。10.解方程组。11.给定正实数，对任意一个正整数，记，这里，表示不超过实数的最大整数。（1）若，求的取值范围；（2）求证：。12.证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个数，满足2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2011年12月4日上午9:00~11:00）题号一（1~8）二总分9101112得分评卷复核解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于x的两个方程：032mxx①，02mxx②，其中0m。若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m的值是___________。2.已知梯形ABCD中，AB//CD，90ABC，ADBD，5BC，13BD，则梯形ABCD的面积为_______________。3.从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。4.将8个数7，5，3，2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e，f，g，h，使得22hgfedcba的值最小，则这个最小值为____________。5.已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AB，BC上的点，使得3AE，2BF，线段AF与DE相交于点G，则四边形DGFC的面积为_____________。6.在等腰直角三角形ABC中，90ACB，P是ABC内一点，使得11PA，7PB，6PC，则边AC的长为______________。7.有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。8.已知a，b，c，d都是质数（质数即素数，允许a，b，c，d有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则dcba的最小值为_________。二、解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9.如图，矩形ABCD的对角线交点为O，已知60DAC，角DAC的平分线与边DC交于点S，直线OS与AD相交于点L，直线BL与AC相交于点M。求证：LCSM//。解OMSLDCBA10.对于正整数n，记nn21!。求所有的正整数组fedcba,,,,,，使得!!!!!!fedcba，且fedcba。解11.（1）证明：存在整数x，y，满足2022422yxyx；（2）问：是否存在整数x，y，满足?2011422yxyx证明你的结论。解12.对每一个大于1的整数n，设它的所有不同的质因数为1p，2p，...，kp，对于每个kipi1，存在正整数ia，使得1iiaiaipnp，记kakaapppnp2121例如，895210026p。（1）试找出一个正整数n，使得nnp；（2）证明：存在无穷多个正整数n，使得n.np11。解2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1.已知31xx，则10551011xxxx_________。2.满足方程33222yxyx的所有实数对yx，为__________。3.已知直角三角形ABC中，3690CABCC，，，CD为C的角平分线，则_________。4.若前2011个正整数的乘积201121能被k2010整除，则正整数k的最大值为________。5.如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为_________。6.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_________。7.整数qp，满足2010qp，且关于x的一元二次方程0672qpxx的两个根均为正整数，则p________。8.已知实数cba，，满足0cbacba，且0a。设21xx，是方程02cbxax的两个实数根，则平面直线坐标系内两点1221xxBxxA，，，之间的距离的最大值为_______。9.如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_______。10.设cba，，是整数，91cba，且1cabbcaabc能被9整除，则cba的最小值是_________，最大值是__________。yxMNOCBAOGFEHDCBAQPEDCBA二、解答题（每题15分，共60分）11.已知面积为4的ABC的边长分别为bccABbCAaBC，，，，AD是A的角平分线，点'C是点C关于直线AD的对称点，若BDC'与ABC相似，求ABC的周长的最小值。12.将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数cfibehghidefabc，，，，和aei都能被11整除，求三位数ceg的最大值13.设实数zyx，，满足0zyx，且2222xzzyyx，求x的最大值和最小值14.称具有22161ba形式的数为“好数”，其中ba，都是整数（1）证明：100，2010都是“好数”。（2）证明：存在正整数yx，，使得161161yx是“好数”，而yx不是“好数”。ihgfedcbaC'CDBA2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题（2009年12月6日）一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b)+b,已知a∗2.5=28.5，则实数a的值是。2、在三角形ABC中，22b1,,2aABBCaCA，其中a,b是大于1的整数，则b-a=。3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。4、已知关于x的方程4322(3)(2)20xxkxkxk有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为。5、如图，直角三角形ABC中,AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为。6、设a，b是方程26810xx的两个根，c，d是方程28610xx的两个根，则(a+c)(b+c)(a−d)(b−d)的值。7、在平面直角坐标系中有两点P(-1,1),Q(2,2)，函数y=kx−1的图像与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是。8、方程xyz=2009的所有整数解有组。9、如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E，则∠AEB=。10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是。第五题图FECBAP第九题图ABCDE第十题图MCDAB二、（本题15分）如图，ΔABC中∠ACB=90°，点D在CA上，使得CD=1,AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd，2()abcdabcd其中数字c可以是0。四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,2ab与2ab都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；③证明：若(a，b)是和谐的，且ab是有理数，则a,b都是有理数；第二大题图CBAD2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义