[数学]高中数学人教B版必修二立体几何学案精品资料

第一章立体几何初步一、点、线、面之间的位置关系（一）平面的基本性质1.平面及其表示（1）平面是无限延展的.（2）平面的图形及字母表示：（3）用符号表示点、线、面之间的位置关系：例1一个平面把空间分成个部分；两个平面把空间分成个部分；三个平面把空间分成个部分.探究：四个平面把空间最多分成个部分.2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.例2若l，m，n且mnP，则点P与直线l的位置关系用符号的表示是.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.lB·A·αP·αlβ····例3（1）空间四点，任三点不共线，则过其中三点的平面有个；（2）一条直线及直线外不共线的三点所确定的平面个数可能有个；（3）三条直线两两相交，每两条直线确定一个平面，则一共确定的平面数为个；（4）四条直线相互平行的直线最多可确定的平面个数为个.例4如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：（1）C1、O、M三点共线；（2）E、C、D1、F四点共面；（3）CE、D1F、DA三线共点．*证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．*证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点（或线）在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．*证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其它直线上，而“其它”直线往往归结为平面与平面的交线．实战训练1.下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．3.已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4.已知、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒∩β＝MN；③A∈，A∈β⇒∩β＝A；④A、B、M∈，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒、β重合．5.空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形；④三个点．6.下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．7.在空间四边形ABCD各边ABBCCDDA、、、上分别取EFGH、、、四点，如果与EH、FG能相交于点P，那么（）A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面ABC内D.点P必在平面ABC外8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别为棱A1B1、B1C1及BC上的点，且直线AP与直线RQ相交于点O，求证：O、B、B1三点共线.A1ABCD1B1C1D9.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，ABCD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．10.如图，AB∩＝P，CD∩＝P，点A、D与B、C分别在平面的两侧，AC∩＝Q，BD∩＝R，求证：P、Q、R三点共线．11.已知直线a、b、l，若a∥b，l与a、b分别交于点A、B，求证：a、b、l共面.12.已知四条直线a、b、c、d两两相交，且不过同一点，求证：直线a、b、c、d共面.3.空间两直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点；（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线――不同在任何一个平面内的两条直线.例5求证：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.*异面直线的判定（1）如果两条直线不平行、不相交，则它们异面；（2）反证法；（3）过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.实战训练1.“a、b是异面直线”是指：①a∩b=，且a不平行于b；②a平面，b平面，且a∩b=；③a平面，b平面；④不存在平面，能使a，且b成立.上述结论中，正确的是（）A.①②B.①③C.①④D.③④2.已知两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交，则直线a、b的位置关系是（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线3.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.相交或异面4.若a、b是异面直线，、是两个不同平面，a，b，l，则（）A.l与a、b分别相交B.l与a、b都不相交C.l至多与a、b中一条相交D.l至少与a、b中的一条相交5.长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）A.2对B.3对C.6对D.12对（二）空间中的平行关系1.平行直线平行公理过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.公理4平行于同一直线的两条直线相互平行，即若a∥b，b∥c，则a∥c.例1已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23.求证：四边形EFGH是梯形.变式1若BD＝a，则梯形EFGH的中位线的长是.变式2求证：EF、GH的交点在AC所在直线上.变式3又若F、G分别是CB、CD的中点，则四边形EFGH是形.变式4又若F、G分别是CB、CD的中点，且AC=BD，则四边形EFGH是形.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.判断：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角.A1B1C1ABC2.直线与平面平行（1）直线与平面的位置关系：①直线在平面内——线面有无数个公共点；②直线与平面相交——线面有且只有一公共点；③直线与平面平行——线面没有公共点.（2）直线与平面平行的判定定理若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，即若a，b，a∥b，则a∥.例2正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）若E为DD1的中点，求证：BD1∥平面ACE；（2）P、Q分别是棱AB、A1D1的中点，求证：PQ∥平面BDD1B1．（3）直线与平面平行的性质定理若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行，即若a∥，aβ，∩β=b，则a∥b.abA1ABCD1B1C1DA1ABCD1B1C1D例3已知异面线段AB、CD在平面的两侧，若AB∥，CD∥，AC∩=M，BD∩=N，求证：AMBNMCND.实战训练1.已知a，b表示直线，表示平面，以下命题：①若a∥b，b，则a∥；②若a∥，b∥，则a∥b；③若a∥b，b∥，则a∥；④若a∥，b，则a∥b.其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.直线a∥平面，点A∈，则过点A且平行于直线a的直线（）A.只有一条，但不一定在平面内B.只有一条，且在平面内C.有无数条，但都不在平面内D.有无数条，且都在平面内3.直线a，b异面直线，直线a和平面平行，则直线b和平面的位置关系是（）A.bB.b∥C.b与相交D.以上都有可能4.如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a、b都平行的平面（）A.只有一个B.恰有两个C.或没有，或只有一个D.有无数个5.判断下列命题的真假：（1）若直线l，则l不可能与平面内无数条直线都相交.（）（2）若直线l与平面不平行，则l与内任何一条直线都不平行.（）6.P是长方体ABCD-A1B1C1D1中面ABCD内的一点.（1）画出经过P、B1、C1的平面与长方体各侧面的交线；（2）以上各条与面的交线与平面A1C1是什么关系？A1B1C1D1ABCDPABCD7.若a∥，a∥β，∩β=b，求证：a∥b.8.如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.9.如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.ADCBFEMN3.平面与平面平行（1）平面与平面的位置关系：①平面与平面相交——有且只有一条公共直线；②平面与平面平行——没有公共点.（2）两个平面平行的判定定理若一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，即若a、b，a∩b=P，a∥，b∥，则∥β.推论若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a、b，c、dβ，a∩b=P，c∩d=Q，a∥c，b∥d，则∥β.例4如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是棱DD1的中点，Q是棱CC1的中点，求证：平面D1BQ∥平面PAO.（3）两个平面平行的性质定理若两平行平面与第三个平面相交，则两条交线平行，即若∥β，γ∩=a，γ∩β=b，则a∥b.例5已知平面∥平面∥平面，直线l、m分别与平面、、相交于点A、B、C和D、E、F.求证：ABDEBCEF.结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.实战训练1.下列各命题中假命题有________个．①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④若平面内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则∥β．2.过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是．3.和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定∥β的是________．（填序号）①内有无数条直线平行于β；②内不共线三点到β的距离相等；③l、m是平面内的直线，且l∥，m∥β；④l、m是异面直线且l∥，m∥，l∥β，m∥β．4.已知平面∥平面β，P是、β外一点，过点P的直线m与、β分别交于点A、C，过点P的直线n与、β分别交于点B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为．5.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则点M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．6.如图，平面∥平面β，点A∈，C∈，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE：EB=CF：FD.求证：EF∥β.7.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.（三）空间中的垂直关系1.两条直线垂直如果两直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两直线互相垂直.*若一条直线与两条平行直线中的一条垂直，则也必与另一条垂直，即若b∥c，a⊥b，则a⊥c.例1判断：（1）相互垂直的两条直线一定相交.（）（2）过一点与