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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 项目/工程管理 > 高考数学一轮单元复习:第33讲-平面向量的数量积及应用
│平面向量的数量积及应用1.数量积的概念(1)向量的夹角:如图33-1所示,已知两个非零向量a和b,作则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,记作.│知识梳理知识梳理〈a,b〉│知识梳理(2)数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量叫做a与b的数量积,记作a·b,即.(3)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.2.数量积的性质设e是单位向量,(1)e·a=a·e=|a|cosθ.(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|,特别地,a·a=a2,或|a|=.|a||b|cosθa·b=|a||b|cosθ2a│知识梳理≤b·aλ(a·b)x1x2+y1y2(3)a⊥ba·b=0.(4)cosθ=.(5)a·b|a||b|.3.运算律(1)a·b=;(2)(λa)·b==a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.4.向量数量积的坐标运算设=a=(x1,y1),=b=(x2,y2),则(1)a·b=;(2)|a|=;baba2121yx(3)(4)cos〈a,b〉=;(5)a⊥bx1x2+y1y2=0;(6)a∥bx1y2-x2y1=0.222221212121yxyxyyxx│知识梳理;221221yyxxa·b=0探究点1平面向量的数量积概念│要点探究要点探究例1判断下列各命题正确与否:(1)0·a=0;(2)0·a=0;(3)若a≠0,a·b=a·c,则b=c;(4)若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立;(5)(a·b)·c=a·(b·c)对任意a,b,c向量都成立;(6)对任意向量a,有a2=.│要点探究【思路】利用数量积的概念.【解答】(1)错,应为零向量;(2)对;(3)错,数量积运算不满足“消去律”;(4)错,当a与b-c垂直时也成立;(5)错,数量积不满足结合律;(6)对.【点评】这是一组概念性问题,通过该题,要清楚向量的数乘与数量积之间的区别与联系,实数的乘法与数量积的区别与联系,并能够结合图形理解其几何意义.│要点探究变式题[2009·福建卷]设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,∣a∣=∣c∣,则∣b·c∣的值一定等于()A.以a,b为邻边的平行四边形的面积B.以b,c为两边的三角形面积C.以a,b为两边的三角形面积D.以b,c为邻边的平行四边形的面积【思路】利用数量积的定义.【解析】A假设a与b的夹角为θ,∣b·c∣=︱b︱·︱c︱·∣cos〈b,c〉∣=︱b︱·︱a︱·∣cos(90°±θ)∣=︱b︱·︱a︱·sinθ,即为以a,b为邻边的平行四边形的面积,故选A.探究点2求平面向量的数量积及模的基本运算│要点探究例2(1)[2009·江苏卷]已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=,则向量a和向量b的数量积a·b=________.(2)[2009·辽宁卷]平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=()A.B.C.4D.123332【思路】(2)要利用数量积的定义和公式|a|=.2a【答案】(1)3(2)B│要点探究【解析】(1)a·b==3.(2)由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12.∴|a+2b|=.233232【点评】本题主要考查数量积的定义和模的基本运算.要求数量积就必须知道向量的模和夹角,这是解题的入手点,如下题:│要点探究变式题(1)在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足则等于()A.B.C.D.(2)[2009·广东卷]一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为()A.6B.2C.2D.294343494【思路】(1)中(2)中由平衡可知F3+F1+F2=0.│要点探究【解析】(1)A由已知知,P为△ABC的重心,根据向量的加法,则(2)D-2F1F2cos(180°-60°)=28,所以|F3|=,选D..94131322222123FFF72探究点3用平面向量的数量积求夹角│要点探究例3[2009·重庆卷]已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与向量b的夹角是()A.B.C.D.6432【思路】利用数量积的定义式.│要点探究【解析】C因为由条件得a·b-a2=2,所以a·b=2+a2=3,设a,b夹角为α,则a·b=|a|·|b|cosα=1×6×cosα,所以cosα=,所以α=.213【点评】从方程的角度理解平面向量的数量积可以求模、夹角,关键是对定义式的灵活变形.│要点探究【思路】要求两向量夹角θ的取值范围,可先求cosθ的取值范围.变式题已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.B.C.D.6,0,332,3,6│要点探究【解析】B由关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,得|a|2-4a·b≥0,而a·b=|a||b|cosθ,∴cosθ≤,∴θ∈.,321214122aa探究点4平面向量的数量积与垂直问题│要点探究例4已知平面向量a=(,-1),b=.(1)证明:a⊥b;(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)·b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数关系式k=f(t);(3)据(2)的结论,确定函数k=f(t)的单调区间.323,21│要点探究【解答】(1)证明:∵a·b=∴a⊥b.(2)∵x⊥y,∴x·y=0,∴[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=-ka2+[t-k(t2-3)]a·b+t(t2-3)b2=0.∵|a|=2,|b|=1,a⊥b.∴-k×4+t(t2-3)=0,即k=(t3-3t)(t≠0).,023)1(213│要点探究(3)由(2)和f(t)=(t3-3t)得f′(t)=(3t2-3),令f′(t)0得t1或t-1,令f′(t)0得-1t1且t≠0.∴函数k=f(t)的单调递增区间为(1,+∞)和(-∞,-1).单调递减区间为(-1,0)和(0,1).4141【点评】该例为向量与函数及导数的综合问题,求解时要灵活变换,及时调整思维角度,并注意解题的严谨性(如t≠0容易忽略).│要点探究【思路】由所给条件逐一判定点P的位置.变式题1[2009·海南宁夏卷]已知O,N,P在△ABC所在平面内,且且则点O,N,P依次是△ABC的()A.重心,外心,垂心B.重心,外心,内心C.外心,重心,垂心D.外心,重心,内心│要点探究【解析】C由知,O为△ABC的外心;由知,N为△ABC的重心;∴BP⊥AC,同理,AP⊥BC,∴P为△ABC的垂心,选C.【点评】根据a⊥ba·b=0这一结论既可以判定垂直,也可以已知垂直得等式.应用中注意化简所给的向量式.如下题:│要点探究【思路】利用平行,垂直的条件列方程求解.变式题2[2009·浙江卷]已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=()A.B.C.D.37,9797,3797,3737,97【解析】D不妨设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),对于(c+a)∥b,则有-3(1+m)=2(2+n);又c⊥(a+b),则有3m-n=0,则有m=,n=.9737│规律总结规律总结1.利用平面向量的数量积可以求两点间的距离(即向量的模),可以求夹角,还可以判定垂直.2.求一个向量的模可以用模的定义,求和(差)向量的模一般先平方,应用数量积计算后再开方.3.求夹角时注意向量的方向,尤其在三角形中,如计算时向量的夹角为∠BAC,计算·时向量的夹角为π-∠BAC.4.a⊥b与a·b=0是等价的,应用非常广泛.
本文标题:高考数学一轮单元复习:第33讲-平面向量的数量积及应用
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