理论力学(第5章)

第五章分析力学分析力学是拉格朗日等人在十八世纪在牛顿力学基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法完全是数学分析，称之为分析力学。建立分析力学的目的是为了用数学方法解决复杂的力学问题，后来的研究发现，分析力学的体系和方法不局限于力学，对物理学的其他领域也非常有用。其原因是将物理规律抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背后更普遍的性质，掌握这些对今后的学习很重要。这一章的重点是拉格朗日方程，哈密顿正则方程和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概念在量子力学中非常重要。§5.2虚功原理§5.1约束与广义坐标第五章分析力学§5.3拉格朗日方程§5.4小振动§5.5哈密顿正则方程§5.6泊松括号和泊松定理※§5.9哈密顿-雅科比理论§5.7哈密顿原理§5.8正则变换※§5.10相积分与角变数※§5.11刘维定理一、几何约束与运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。如：Oxy),(yxMl222lyx§5.1约束与广义坐标一群质点的集合称为力学体系力学体系中存在的限制质点位置和运动的条件称为约束。表示这些限制条件的表达式称为约束方程。O),(AAyxA),(BByxBrlxy0)()(222222BABABAAylyyxxryx几何约束方程的一般形式为0),,,,,,(111nnnrzyxzyxf不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的速度的约束称为运动约束。),(BByxBBvOxyCr为几何约束方程。ryB0rxB为运动约束方程。运动约束方程的一般形式为0),,,,,,,,,,,,,(111111nnnnnnrzyxzyxzyxzyxf二、稳定（定常）约束与不稳定（非定常）约束约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。Oxy),(yxMu0l其约束方程为2022)(utlyx非定常约束方程的一般形式为0),,,,,,,(111tzyxzyxfnnnr三、双面约束与单面约束同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面（不可解）约束。只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动的约束称为单面（可解）约束。其约束方程的一般形式为111(,,,,,,)0rnnnfxyzxyz四、完整约束与非完整约束几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。约束的分类小结稳定约束,,0fxyz,,,0fxyzt不稳定约束不可解约束可解约束,,0fxyz,,,0fxyzt（完整约束）几何约束运动约束（微分约束）,,;,,;0fxyzxyzt可积不可积非完整约束2.广义坐标,,,0fxyzt1,2,...k若n个质点的体系受k个几何约束此时，独立坐标数为3n-k个，它的自由度为3n-k=syxOAB1l2l21例双摆12，广义坐标:自由度s=2广义坐标在给定的约束条件下用来确定力学系统位置的一组独立变量在完整系中，广义坐标的数目与自由度的数目相等，是确定系统的最小变量数对于一个给定的系统，广义坐标的数目是一定的，而广义坐标的选择不是惟一的广义坐标一般用q符号表示，若系统有s个自由度，就有s个广义坐标q1，q2，q3,…,qs可缩写为qα,α=1,2,…,s111222,,...,,,...,,,...,iisiisiisxxqqqtyyqqqtzzqqqt1,2,...,,3insn12,,...,iisrrqqqt1,2,...,,3insn或直角坐标与广义坐标的变换关系xyRθ例一质点约束在半径为R的圆周上运动cossin0xRyRz自由度s=1,以θ为广义坐标drdxidyjdzkxdtiydtjzdtk虚位移它是所有想象中可能的位移，取决于质点在此刻的位置和约束条件。由于没有时间变化r0t实位移和虚位移的区别:在任意的t时刻，虚位移可不止一个，在稳定约束条件下，实位移是虚位移中的一个，当对于不稳定约束，它们并不一致。§5.2虚功原理实位移dr1.实位移和虚位移Oxy),(yxMrOABxyArBr实位移是在一定的力作用下和给定的运动初始条件下，在一定的时间内发生的位移，具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。而虚位移纯粹是一个几何概念，它既不牵涉到系统的实际运动，也不涉及到力的作用，与时间过程和运动的初始条件无关，它一定是微小值，在约束允许的条件下具有任意性。一个静止的质点或质点系不会发生实位移，但可以有虚位移求虚位移之间的关系例如),(AAyxA),(BByxBxyOAyBxl椭圆规机构如图，坐标AByx,有约束方程222lyxAB对上式进行变分运算得022AABByyxxtgxyyxBAABMFr设某质点受力作用，并给该质点一个虚位移，则力在虚位移上所作的功称为虚功，即FFrrrFW或rFWcos显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无穷小量。2.理想约束理想约束：力学体系上的所有约束反力的虚功之和为零10niiRr引入虚位移可以消去这些约束反力常见的理想约束有：支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。稳定平衡不稳定平衡受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是所有主动力的虚功之和等于零。10nixiiyiiziiFxFyFz或3.虚功原理当力学体系处于平衡时，对i第个质点有111000nniiiiiiiiniiiFRFrRrRr对理想约束有10niiiFr虚功原理的广义坐标表示：12,,...,iisrrqqqt1siirrqq1110nnsiiiiiirWFrFqq110sniiirWFqq0(1,,)Qs广义平衡方程:1niiirQFq广义力例均质杆OA，重P1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端，用铰链连另一重P2、长为l2的均质杆AB，在AB杆的B端加一水平力F.求平衡时此二杆与水平线所成的角度α及β.解：本问题有2个自由度，取α，β为广义坐标主动力为P1，P2，F由虚功原理112230PxPxFy112123121sin21sinsin2coscosxlxllyll1121122211coscossincossin022PlPlFlPlFl112112221coscossin021cossin02PlPlFlPlFl122222PPtgFPtgFβ222cos22cos22crcrr2cos2cos2Clyr2cos2cos02lr22424cos2coscrrlc(2cos)sinsin2sin22Cllyrr0CWmgy代入解主动力W0CWmgy由虚功原理得[例]半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为224(2)crcyxoWαrCOABPQBrArCPQ例图示机构中，已知OA=AB=l，，如不计各构件的重量和摩擦，求在图示位置平衡时主动力与的大小之间的关系。AOB解：以系统为研究对象，受的主动力有、。给系统一组虚位移如图。PQ由虚位移原理0iirF，得0cosBArQrP2cos2sinABBrlrlrl(cos2sin)0PllQ2tanPQABCDEWaabb例图示平面机构，两杆长度相等。在B点挂有重W的重物。D、E两点用弹簧连接。已知弹簧原长为l，弹性系数为k，其它尺寸如图。不计各杆自重。求机构的平衡位置。ABCDEWFFxy解：以系统为研究对象，建立如图的坐标系统受力有主动力，以及非理想约束的弹性力和，将其视为主动力。其弹性力的大小为WFF)cos2(lbkkF主动力作用点的坐标及其变分为sin)(bayBcos)(bayBcosaxDsinaxDcos)2(baxEsin)2(baxEABCDEWFFxy由虚功原理得0BDEWyFxFy0sin)2()sin(cos)(baFaFbaW亦即0sin2cos)(FbbaW因，故00sin2cos)(FbbaW将F代入，化简得()tan2(2cos)Wabkbbl例如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶（F，F'），其力偶矩等于2Fl。设螺杆的螺距为h，求平衡时作用于被压榨物体上的压力。研究以手柄、螺杆和压头组成的平衡系统。若忽略螺杆和螺母间的摩擦，则约束是理想的。作用于平衡系统上主动力为：作用于手柄上的力偶(F，F')，被压物体对压头的阻力FN。给系统以虚位移，将手柄按螺纹方向转过极小角δφ，于是螺杆和压头得到向下位移δs，计算所有主动力在虚位移中所作虚功的和，列出虚功方程例图示曲柄连杆滑块机构是一个单自由度机构，OA=r，AB=l。若以θ为广义坐标，试求A，B两点的虚位移与广义坐标虚位移之间的关系。例图示曲柄连杆滑块机构是一个单自由度机构，OA=r，AB=l。受到力偶M，铅垂力FA和水平力FB的作用而平衡，试求M，FA，FB的关系。其中FA和FB前带负号是因为FA和FB方向分别δyA与δxB的方向相反，M前为正号是因为M的方向与δθ的方向相同。将上例得到的虚位移之间的关系式（b）代入上式得如图所示椭圆规机构，连杆AB长为l，杆重和滑道、铰链上的摩擦力均忽略不计。求在图示位置平衡时，主动力FA和FB之间的关系。研究整个机构平衡，系统的约束为理想约束，取坐标轴如图所示。根据虚位移原理，可建立主动力FA和FB的虚功方程为解此方程，必须找出两个虚位移δrA与δrB之间的关系，由于AB杆不可伸缩，AB两点的虚位移在AB线上的投影应该相等，由图有将上式代入式（a），解得已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接，且有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在点G作用一铅直方向的力F，求支座B的水平约束反力FBx。此题可用虚位移原理来求解。用约束力FBx代替水平约束，并将FBx当作主动力。设B，G二点沿x，y的虚位移为δxB和δyG，根据虚位移原理，有如图所示为一简易压榨机的模型，在A处施力可在C处产生较大的压力。已知机构各部件尺寸如图，所有滑道与铰链均为光滑。试求机构在角θ平衡时A处施力FA及C处阻力FC的关系。质点系有一个自由度，选θ为广义坐标，则有关点的位置坐标表达式及虚位移表达式为应用虚位移原理得如图所示的重物滑轮系统中，已知m1，m2，m3，两斜面的倾角分别为，。如果斜面光滑，绳子与滑轮重量不计，求系统的平衡条件。系统有两个自由度，选δx1，δx2为独立变化的虚位移；则为使上式成立，δx1，δx2前面的系数必为零。由此得平衡条件：1.基本形式的拉格朗日方程01,2,...iiiimrFRin达朗伯原理达朗伯-拉格朗日方程10niiiiiFmrr§5.3拉格朗日方程1,2,...iii