《鸡兔同笼》课堂教学实录-王延安

《鸡兔同笼》课堂教学实录王延安2010-04-01执教年级：五年级执教课课时：1课时师：其实我们的数学问题很多都像刚才我们猜年龄一样，要经历一个猜想、分析、验证、应用的这样一些过程。接下来我们再次来研究这样一个问题，现在大家看我这里有个小小的口袋。（老师提起口袋）口袋里装的是什么呢?生：钱。师：你说对了，装的是一元的五角的硬币。（板书：1元5角）一共是10枚，请你来猜一猜口袋里有多少钱呢？生：五元五角。师：这个有吗，你说说你是怎么猜的？生：我是——（支支吾吾）师：你是不是看钱激动了啊！有同学说是7元5角可以吗？生：（齐声）可以。师：5个5角，5个1元加起来就是7元5角。很遗憾的告诉你们不对。还可以是多少钱？生：9元5角。师：为什么是9元5角？生：我取9个1元的一个5角的总共就是9元5角。师：这个可以有吗？生：（齐声）可以。师：很遗憾这个真没有，大家都没有猜对，我想问大家这个口袋至少有多少钱？生：最少有5元。师：为什么？生：就是10个全是5角的。师：5角的就有10枚1元的就是0枚。（板书：5角的10枚1元的0枚钱数是5元）那最多可以是？生：最多是10元。师：为什么？生：10枚1元的，0枚5角的。师：10枚1元的，0枚5角的，全数应该是10元钱。（板书：10枚1元的0枚5角的总数是10元）刚才我们猜了有5元，10元还猜了个什么？生：9元5角。师：还猜了个什么？生：7元5角。师：这些全有可能对不对？生：（齐声）对！师：但是都很遗憾，都没有猜对。那么口袋里到底有多少钱呢？请看黑板，口袋里一共有8.5元。（板书：8.5元）这样的话口袋里应该有几枚5角几枚1元的呢？生：7枚1元的，3枚5角的。师：我们打开口袋来验证一下，我们来算一算。3枚5角的是多少钱？生：1元5角的。师：7枚1元的是多少钱？生：7元。师：加起来是多少钱？生：8。5元。师：说说你们是怎么想的？生：最多有10元减去现在的8.5元等于1.5元，先算出5角的有多少，就用1.5÷0.5=3（枚），就是说5角的3枚，已知总共有10枚，10减3就算出了1元的有多少枚。（板书：10－8.5=1.5元1.5÷0.5=3枚10－3=7枚）师：他说完了，你们听明白了吗？生：不能用1.5直接去除0.5，0.5应该是1减0.5得到的数。师：这个地方出问题了，他除的0.5是0.5角的0.5吗？生：不是。（纷纷摇头）师：为什么呢？生：不能直接除以0.5应该除以它们的差。师：为什么要除以它们的差？生：因为1元比0.5元多了0.5元。每枚多了0.5元所以3枚一共就多了1.5元。师：是这个意思吗？那么刚才所有的钱都是当作多少钱来算的？生：1元。师：刚才是把所有的钱假设成了1元来计算的。（板书；假设1元）为什么会多出来？生：每把一个1元换成1个5角的话它的总价值就会减少0.5元。师：所以说我们除的0.5不是0.5角的0.5而是多算的5角钱是吗？生：（齐声）是。师：还有别方法吗？生：还可以假设成全是5角的。师：对，可以假设全是5角的但是思路是一样的。那还有别的方法吗？生：凑出来的。师：怎么凑的啊——生：乱凑的。（众笑）师：有凑的但是不能是乱凑的，谁来说说？生；我是这样想的8.5元跟10元很接近，相差了1.5元，从9枚，8枚1元开始凑凑到7就够了。师：这个是叫凑吗？不是，这个是叫有规律的试的。你的方法就叫列表的方法。（板书：列表）我说说我的方法行不行？生：（齐声）行。师：我的方法是这样的，请看！大屏幕：师：我这个方法好不好？生：不好。师：开什么玩笑，我是王老师方法还不行吗？生：这样太麻烦了，应该倒着推出来的话就只要3次就好了，你这样的话要8次。师：我这方法虽然不是很好，但是能做出来吗？生：（齐声）能！师：那我的列表是按顺序列出来的对不对？生：（齐声）对。师：刚才那个小女孩也是列表出来的，但是它是倒过来列的是吗？生：（齐声）是。师：我们还可以怎么列，从中间来找行不行啊生：行。师：人家的列表是跳跃式列表，这个方法好吗？生：我觉得不好，万一这个数字很大的话就要凑很多遍。师：但毕竟是能做出来的，同样列表我们可以简单一点。我们可以从后面推过来，也可以从中间往两边推。可以吗？生：可以。师：通过刚才的硬币我们的同学找出了很多的方法，有——生：列表法，假设法。师：实际上这些问题早在1500年以前就开始有人研究了。他们研究的不是硬币是鸡和兔子，也就是今天我们要研究的“鸡兔同笼”问题。（板书：鸡兔同笼）下面我们来看这样一则故事。谁把它读一遍？大屏幕：今有雉（zhi）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，请问雉（zhi）兔有几何？生：今有雉（zhi）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，请问雉（zhi）兔有几何？师：这是什么意思？生：就是说鸡和兔在一个笼子里关着，总共有35个头，94只脚，请问鸡有几只兔有几只？师：听明白了吗？生：（齐声）明白。师：那个雉（zhi）就是鸡的意思。看到这个你有什么问题要问吗？鸡，兔有几个头？生：1个。师：鸡和兔各有多少只角？生：鸡两只，兔四只。师：鸡和兔有35个头说明了什么啊——生：说明了鸡和兔共有35只。师：为什么啊——生：鸡和兔都只有一个头。师：那现在要解决的是鸡有多少，兔有多少？（鸡？兔？脚94只）意思明白了吗？生：（齐声）明白了。师：这个问题和我们刚才的问题一样吗？生：（齐声）一样。师：是一样的，换了种东西而已。现在你们小组讨论下对于这个问题我们有什么样方法解决它？（小组纷纷讨论，老师巡视并且个别指导）师：同学们你们做出来了吗？生：（齐声）做出来了。师：用列表法做的有吗？（一生举手）生：鸡23只，兔12只。师：同学们我们来验证一下她的答案对不对，谁来说怎么验证？生：先把23X2=46只脚，12X4=48只脚。加起来的话就有94只脚。师：94只脚正，非常好！说孩子这个表是怎么列的？生：我是先从5只兔开始列的，鸡是30只。师：这样算发现不合适，然后就——生：兔是10只，鸡就25只。师：这样加起来的脚就是——生：90只。师：已经非常接近了。然后呢？生：就是兔子11，鸡24发现不对，就兔子12，鸡23答案就出来了。师：孩子们这方法行不行啊？生：（齐声）行。师：这个列表叫做跳跃式列表，还有不同的方法的来说说你们的想法？生：35乘以4等于140只脚，140减去94等于46只脚，46除以4减去2的差等于23就是鸡的只数，然后35减去23等于兔的只数。（板书；35X4=140只140－94=46只46÷（4－2）=23只35－23=12只）师：好，来，到前面来指着算式跟大家说说。生：35X4=140只就是假设成全是兔子的脚的只数，但是实际的鸡和兔的脚数是94只，这样就跟假设出来的脚相差46只。因为我们把鸡的脚数也设成可兔子的脚数，鸡有2只脚兔子有4只脚，它们一共相差了2只脚，相差的总的脚数，除以鸡和兔相差的脚数，就是鸡的只数。总的数35减去23只鸡的数量，就是兔的只数。师：你们听明白了吗？生：（齐声）明白。师：刚才这个同学用的是假设的方法，这（4－2）个地方一定要注意。我们把什么看成了什么？生：鸡看成了兔子。师：所以兔子本来就比鸡多出了2只脚，算出来的23只就是鸡的数量。还有不同的方法吗？（没人举手）有个小孩不愿意说，他是列方程的方式做的，我来替他说。解设兔有X只，则鸡有——（板书：解设兔有X只，则鸡有？）生：有35减去X只。师：解设兔有X只，则鸡有（35－X）只这样对吗？生：（齐声）对。师：兔脚的数量有多少只？生：4X只。（板书：4X）师：那鸡脚的数量是多少？生：（35－X）X2只。（板书：（35－X）X2只）师：这样把鸡和兔的脚数加起来就是总的脚数（板书：4X+（35－X）X2=94只）这个方法明白了吗？生：（齐声）明白。师：还有别的方法吗？（纷纷摇头）没有了是吧，那我来说说1500年前的老祖宗是怎么做的？（板书：94÷2=47只47－35=12只……（兔）35－12=23只……（鸡）这样的方法简单吗？生：（齐点头）简单。师：知道怎么来的吗？（纷纷摇头）看看这个动画看对你有什么启发？大屏幕：师：谁看懂了，跟我们说说到底是怎么回事？生：鸡有2只脚，兔有4只脚它们除以2就是鸡只有一只脚，兔有2只脚就只剩下47只脚，再把她们的脚减去一个，鸡就没有脚，就只剩下兔字的脚。所以47－35=12只脚就是兔子的只数。师：说完了你们应该有点感觉了吧，还有谁来说说？生：首先它们的总共的脚数是94只，如果把它们除以2的话它们合起来就只有47只脚，再把它们减去一只脚那鸡就没有脚了，兔子只剩下1只脚了，那么还剩下12只，兔的只数跟它的头的个数是相同的，所以就有12只兔。现在明白了吗？师：明白了吗？生：明白。师：我们回过头来看看，每只鸡有几只脚？生：2只。师：那兔有几只脚？生：4只。师：那现在我们让鸡和兔的脚的数量减少一半，于是总脚数就变成了47只，然后让所有的鸡一只脚也没了，然后全剩下12只的是什么脚了——生：兔子的脚了。师：12只脚就表示？生：12只兔子。师：怎么样，我们的古人厉害吗？生：（齐声）厉害。师：特厉害，这就是智慧的结晶，于是这个方法我们就把它取名叫做——跳舞法。我们能不能受古人的启发有没有更好的办法？（纷纷摇头）我做了关于这方面的课件你看看对你有没有启发？下课以后再去讨论。大屏幕：师：这个你们下课以后去讨论，说说你们这节课的收获如何？生：我们懂得了跳舞法。师：还有什么收获？生：会做鸡兔同笼的问题了。师：我们每个人都有收获，我们的共同努力让1500多年前的问题重新焕发了青春，充满了魅力，今天的课上到这，同学们，下课！生：（齐声）老师，再见！【专家评点】听了王延安老师的这节“原生态”的课，一股浓浓的文化气息萦绕着我。无论是内容还是方法都积淀出了浓厚的数学文化。一、数学家陈省身说过：“了解历史是了解这门学科的一个步骤”。把数学史渗透到小学数学课堂中，在当今已达成共识。但是《孙子算经》的记载内容，毕竟与孩子们的生活相离甚远。王老师灵活地处理教材，从猜钱数、算枚数入手，充分尊重了孩子们的认知。在此基础上，介绍数学史料，从解决古题入手，进一步进行教学，使教学内容“古今并存”，丰盈而厚重。二、就这类题而言，是渗透多种解题策略的很好的载体。王老师从学生最初的解决策略开始，逐一渗透各种方法，试图引导学生在列表的过程中发现规律。并在课尾将“老祖宗”的“砍足法”分解开来，一种课堂讲解，另一种回去思考，这无疑是让学过奥数的孩子，再从新审视这个知识。让孩子们带着问题走出课堂，40分钟变得甚远而厚重。列表法、方程法、砍足法其实与假设法是一脉相通的，若能再加以勾通，是不是能让学生认识的更加明确呢？（刘劲苓）