特殊与一般的思想

2010年高考数学考点预测：特殊与一般的思想由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，通过对个例认识与研究，形成对事物的认识，由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。对数学而言，这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想。在高考中，会设计一些构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程，由特殊到一般进行归纳法猜想和类比法猜想的试题。1.取特殊数值例1．（2008重庆卷,理6）若定义在R上的函数fx满足：对任意12,xxR有12121fxxfxfx,则下列说法一定正确的是（）(A)fx为奇函数（B）fx为偶函数(C)1fx为奇函数（D）1fx为偶函数分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找fx与fx之间的关系，由于0xx所以需要先求出0f的值，这时需要取特殊值120xx解答。解：令120xx，得01f，令12,xxxx得2fxfx∴11fxfx，∴1fx为奇函数，故选C答案：C评注：在对于抽象函数来说，常常通过取特殊值研究函数的奇偶性。例2.若121212120,01aabbaabb,且，则下列代数式中值最大的是A．1122ababB．1212aabbC．1221ababD．12分析：本题比较大小，可以取特殊值，也可以作差比较，还可以用基本不等式或排序不等式。解法一：特殊值法.取12121312,,,4433aabb，通过计算比较1122abab最大。选A解法二：22121212121()()222aabbaabb112212211211222121()()()()()0ababababaabaabaabb11221221()abababab12121122112112221()()2()aabbabababababab112212abab解法三：根据排序不等式知1122abab、1212aabb、1221abab中，1122abab最大，再取特值12121312,,,4433aabb比较1122abab与12答案：A.评注：本题中有多种做法，其中取特殊值法最简单，最直接。例3（2008福建德化一中，理）已知)(xf对一切实数yx,都有()()()fxyfxfy，且当x＞0时，)(xf＜0（1）证明)(xf为奇函数且是R上的减函数；（2）若关于x的不等式22[cos()][sin()]()66fxfxfm对一切0,2x恒成立，求m的取值范围；（3）如果(1)1f，()nafn，记数列1nnaa和的前n项和分别为TnnS和，求证2nnnST(1)n分析：本题中的函数为抽象函数，可通过取特殊值研究函数的单调性，再利用函数的单调性把不等式转化，得到关于m的不等式恒成立，有函数求的最值解答，（1）证明:依题意取)0(2)0(0ffyx有∴0)0(f又取xy可得))(0()()()(Rxfxfxfxxf∴))(()(Rxxfxf由x的任意性可知)(xf为奇函数又设0),(,12121221xxxxxxxx其中则∴2121121()()()()fxfxxxfxfxx∵21()0fxx∴12()()fxfx∴)(xf在R上减函数（2）解：∵函数()fx是奇函数，∴由22[cos()][sin()]()66fxfxfm得22[cos()][sin()]()66fxfxfm∴22[cos()sin()]()66fxxfm即[cos(2)]()3fxfm又∵)(xf是R上的减函数∴cos(2)0,32xmx对于一切恒成立当0,2x时，42,333x，故此时cos(2)3x的最小值为1，∴1m（3）∵()nafn∴1(1)()(1)1nnafnfnfa又1(1)1af，∴数列na是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴11nnanan，要证明不等式2nnnST，即是证明2nnSTn也就是证明211(12)(1)2nnn由柯西不等式得221111(12)(1)(112)22nnnnn要使不等式取得等号，当且仅当121112nn，而这是不可能成立的。∴当1n时，2211(12)(1)2nnn，即2nnnST评注：研究抽象函数的单调性常用取特殊值法，本题较为综合的考查了抽象函数的单调性以及利用函数的单调性解得不等式及函数的最值，还有把函数问题转化为数列，最终利用柯西不等式证出。2．取特殊函数例4．（2008陕西卷，理11.改编）定义在R上的函数()fx满足()()()2fxyfxfyxy（xyR，），(1)1f，则(3)f等于（）A．2B．3C．6D．9分析：由(1)2f及()()()2fxyfxfyxy，可令,xy为特殊值，求出2,3ff，再取特值研究函数的奇偶性；或直接取满足条件的特殊函数解答。解法一：取2fxx，则满足()()()2fxyfxfyxy和(1)1f，∴(3)9f，选D解法二：()()()2fxyfxfyxy中，令1,1xy，得24f，再令1,2xy得39f，再令1,0xy，得00f，令yx得，22fxfxx，再令3x，得(3)9f，选D评注:对于抽象函数来说,取特殊值和取特殊函数是常用的方法.例5.（取特殊函数的三角题）3．取特殊数列例6.（2008四川卷，理7）已知等比数列na中21a，则其前3项的和3S的取值范围是()（Ａ）,1（Ｂ）,01,（Ｃ）3,（Ｄ）,13,分析：本题中的等比数列只知道21a，如果再知道公比，数列就可以确定，而选项是范围问题，可取定公比加以排除。解法一：∵等比数列na中21a∴当公比为1时，1231aaa，33S；当公比为1时，1231,1,1aaa，31S从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D；解法二：∵等比数列na中21a∴312321111Saaaaqqqq∴当公比0q时，3111123Sqqqq；当公比0q时，3111121Sqqqq∴3,13,S故选D；评注：取特殊数列入手淘汰，如果一次不能区分，则需多次取有区分度的值进行排除，直至能辨别出正确答案为止，也可多种方法并存。要重视等比数列的通项公式，前n项和公式，以及均值不等式的应用，特别注重均值不等式使用的条件是否具备，不具备就要进行分类讨论。4.取特殊位置例7.（2008宁夏区银川一中）如图，边长为a的正ABC中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有（填上所有正确命题的序号）（1）动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；（2）三棱锥AFED的体积有最大值；（3）恒有平面AGF平面BCED；（4）异面直线AE与BD不可能互相垂直；分析:由于AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形,可以转动到特殊位置,需要考虑特殊情况.解:不论怎样转动,DE面A'FG,（1）（3）正确,（2）DEF不再变化,当高最大时,三棱锥AFED的体积有最大值,即当'AGABC面时,三棱锥AFED的体积有最大值也正确,（4）不正确,由三垂线定理知,当'AE在平面ABC内的射影与CD平行时就一定垂直.评注:特殊位置法是解决变化的图形的一种策略,要想到一些特殊位置.例8.（福建省八闽高中）某校高三年级老师到外校参观学习2天，留下6位老师值班，记每天上午、下午、晚上各为一“工作时”，则每位老师必须且只需值班一个“工作时”，由于有事，甲老师不能值晚班，乙老师不能值下午班，那么年级值班排法共有…………………………………（）A．288种B．312种C．336种D．360种分析：甲老师、乙老师都有特殊要求，应该先满足他们的特殊要求先排，如果先排甲老师，则由于他排在上午和下午会影响到乙老师的排法，所以需要分类讨论。解：先排甲老师有两种情况，（1）甲老师排在上午值班，有2种方法，乙老师排在晚上值班也有2种方法，其余4位老师有4424A种方法，共2×2×24=96种方法。（2）甲老师排在下午值班，有2种方法，乙老师与其他4位老师随便排都可以，有55120A种方法，共有240种方法；由（1）（2）可知共336种方法。评注：本题为排列组合的特殊元素和特殊位置题，按特殊元素和特殊位置优先的原则，分情况讨论。5．取特殊的点例9．（2009山东文登三中）已知函数122(1)log1xxfxxx，则1fx的图象是（）ABCD分析：可以根据已知函数写出所研究的函数，没有必要画出函数图象，只需取特殊点就可以判断。解：由已知得112201log10xxfxxx取特殊值0x和1x时，图象所过的点为0,2,1,1，结合图形知选D。答案：D评注：因为选项中的各图都有区别，可以取特殊值加以辨别。6．由一般到特殊和由特殊到一般例10．（2008湖北卷，理15）观察下列等式：2111,22niinn2321111,326niinnn34321111,424niinnn454311111,52330niinnnn5654211151,621212niinnnn67653111111,722642niinnnnn……………………………………212112101,nkkkkkkkkkiiananananana可以推测，当x≥2（*kN）时，1111,,12kkkaaak12k2ka.，0分析：本题为找规律题，可以纵观全局，就会发现这些式子的特点，纵向观察，找出规律和共性，得到答案。解：纵向观察每个式子的第一项，111111,,,,,234567可知11,1kak再看每个式子的第二项，都是12，所以12ka，同理，112kka，2ka0答案：1111,,12kkkaaak12k，2ka0评注：本题是由特殊到一般，需要观察归纳总结规律。例11．（2008辽宁卷，理21）在数列||na，||nb中，a1=2，b1=4，且1nnnaba，，成等差数列，11nnnbab，，成等比数列（n*N）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测||na，||nb的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：1122111512nnababab…．分析：由已知条件可先算出前几项，再归纳总结，用数学归纳法证明。解：（Ⅰ）由条件得21112nnnnnnbaaabb，由此可得2233446912162025ababab，，，，，．猜测2(1)(1)nnannbn，．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即2(1)(1)kkakkbk，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kkkkkkaabakkkkkbkb，．所以当n=k+