数学模型第四版9.5随机人口模型

9.5随机人口模型我们在5.6节讨论的人口模型是确定性的，已知初始人口并且给定了生育率、死亡率等数据后，可以确切地预测未来的人口，但是事实上，一个人的出生和死亡应该说是随机事件，无法准确预测，之所以能用确定性模型描述人口的发展，是因为考察的是一个国家或地区的数量很大的人口，用对总数而言的平均生育率、死亡率代替出生、死亡的概率，将人口作为连续变量处理。如果研究对象是是一个自然村落或一个家族的人口、数量不大，需作为离散随机变量看待时，就要利用随机人口模型来描述其变化过程了。时刻t的人口用随机变量X(t)表示，X(t)只取整数值，记)(tPn为X(t)=n的概率，n=0,1,2…，下面要在对出生和死亡的概率做出适当假设的基础上，寻求)(tPn的变化规律，并由此得出人口X(t)的期望和方差，用它们在随机意义下描述人口的发展状况。模型假设若X(t)=n,对人口在t到t+t的出生和死亡作如下假设1.出生一人的概率与t成正比，记nbt;出生二人及二人以上的概率为o(t).2.死亡一人的概率与t成正比，记ndt;死亡二人及二人以上的概率为o(t).3.出生与死亡是相互独立的随机事件。4.进一步设nb和nd均与n成正比，记nb=n，nd=n，和分别是单位时间内n=1是一个人出生和死亡的概率。建模与求解为得到)(tPn的方程，考察随机事件X(t+t)=n。将它分解为以下一些互不相容的时间之和，并且根据假设1~3，可以得到这些事件的概率：1.X(t)=n-1,且t内出生一人，概率为)(1tPn1nbt；2.X(t)=n+1,且t内死亡一人，概率为)(1tPn1ndt；3.X(t)=n,且t内没有人出生或死亡，概率为)1)((tdtbtPnnn；4.X(t)=n-k(k2),t内出生k人,或X(t)=n+k(k2)，t内死亡k人，或X(t)=n，t出生且死亡k人(k1)，这些事件的概率均为o(t)。按照全概率公式有tdtPtbtPttPnnnnn1111)()()()()t1)((nttdbtPnn（1）由此可得关于)(tPn的微分方程)()()()(1111tPdbtPdtPbdtdPnnnnnnnn（2）特别地，在假设4下方程为)()()()(1111tPdbtPdtPbdtdPnnnnnnnn（3）若初始时刻（t=0）人口委确定数量0n，则)(tPn的初始条件为00,0,1)0(nnnnPn（4）（3）式对于不同的n是一组递推方程，在条件（4）下的求解过程非常复杂，并且没有简单的结果。幸而，通常人们对（3）式的解)(tPn并不关心，感兴趣的只是X(t)的期望E（X(t)）（以下简记作)(tE）和方差)(tD，而它们可以由（3），（4）直接得到。因为按照期望的定义，1)()(nntnPtE（5）对（5）求导并将（3）代入得)()()()1()()1(121111tPntPnntPnndtdEnnnnnn（6）注意到11)()1(nntPnn=1)()1(kktPkk11)()1(nntPnn=)()1(1tPkkkk代入（6）式并利用（5）式，则有1)()()()(nntEtnPdtdE（7）由（4）可以写出)(tE的初始条件0)0(nE（8）显然，方程（7）在（8）下的解为rentErt,)(0（9）这个结果与5.6节（3）式表示的指数模型rtextx0)(（10）形式上完全一致，从含义上看，随机性模型（9）中出生概率与死亡概率之差r可成为净增长概率，人口的期望)(tE呈指数增长，在人口数量很多的情况下如果将r视为平均意义上的净增长率，那么)(tE就可以看成确定性模型（10）中的人口总数)(xt了。对于方差)(tD，按照定义)()()(212tEtPntDnn（11）用类似求)(tE的方法可以推出（习题9）]1[)()()(0tteentD（12）)(tD的大小表示了人口X(t)在期望值)(tE附近的波动范围。（12）式说明这个范围不仅随着时间的延续和净增长率r的增加而变大，而且即使当r不变时，它也随着和的上升而增长。这就是说，当出生和死亡频繁出现时，人口的范围波动变大。评注从模型假设和得到的人口期望值得结果可以看出，这个随机模型在确定性入口模型中相对应的，只不过是最简单的指数增长模型。但是即使这样，由方程（3），（4）求解)(tPn已经相当复杂了，读者可以建立与确定性的阻滞增长（logistic）模型相对应的随机模型（习题10）。由这个模型，不仅)(tPn而且E（X(t)）都难以求出，甚至不知道E（X(t)）是否与确定性阻滞增长模型的结果（5.6节（7）式）一致。所以本节的讨论作为人口模型并没有多大的意义，但是作为一般的生灭过程，特别是从假设1~3得到的模型（2）式有着广泛的用途，如电梯的升降、交通路口的通过以及各种排队现象，都可以在适当的假设下用生灭过程的模型描述。