三角函数解三角形题型归类

WORD完美格式专业知识编辑整理三角函数解三角形题型归类一知识归纳：（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的；②分类：角按旋转方向分为、和．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝．(3)象限角：使角的顶点与重合，角的始边与，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad，1rad＝180π°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝12lrWORD完美格式专业知识编辑整理＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝．（2）任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．（二）公式概念1．三角函数诱导公式k2π＋α(k∈Z)的本质奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)．2．两角和与差的三角函数公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.3．二倍角公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，WORD完美格式专业知识编辑整理cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cosα2；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.（三）正、余弦定理及其变形：1．正弦定理及其变形在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R是外接圆的半径)；a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.2．余弦定理及其变形a2＝b2＋c2－2bccosA；cosA＝b2＋c2－a22bc.b2＝；cosB＝；c2＝.cosC＝.3.三角形面积公式:S△ABC＝12ah＝12absinC＝12acsinB＝_________________＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.WORD完美格式专业知识编辑整理2．整体法：求y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sinx(或cosx)看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．4．公式法：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2016年全国卷1)WORD完美格式专业知识编辑整理4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知5a，2c，2cos3A，则b（A）2（B）3（C）2（D）36.将函数2sin(2)6yx的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（A）2sin(2)4yx（B）2sin(2)3yx（C）2sin(2)4yx（D）2sin(2)3yx14.已知是第四象限角，且3sin()45，则tan()4————————————．(2015年全国卷1)8.函数()cos()fxx的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为（）（A）13(,),44kkkZ（B）13(2,2),44kkkZ（C）13(,),44kkkZ（D）13(2,2),44kkkZ17.（本小题满分12分）已知,,abc分别是ABC内角,,ABC的对边，2sin2sinsinBAC.（I）若ab，求cos;B（II）若90B，且2,a求ABC的面积.WORD完美格式专业知识编辑整理(2014年全国卷1)2.若0tan，则A.0sinB.0cosC.02sinD.02cos7.在函数①|2|cosxy，②|cos|xy，③)62cos(xy,④)42tan(xy中，最小正周期为的所有函数为A.①②③B.①③④C.②④D.①③16.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角60MAN，C点的仰角45CAB以及75MAC；从C点测学科网得60MCA.已知山高100BCm，则山高MN________m.(2013年全国卷1)9．函数()(1cos)sinfxxx在[,]的图像大致为（）WORD完美格式专业知识编辑整理10．已知锐角ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，223coscos20AA，7a，6c，则b（A）10（B）9（C）8（D）516．设当x时，函数()sin2cosfxxx取得最大值，则cos______.(2012年全国卷1)9.已知0，0，直线x=4和x=54是函数()sin()fxx图像的两条相邻的对称轴，则=（A）π4（B）π3（C）π2（D）3π417.（本小题满分12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，3sinsincaCcA.(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=2，ABC的面积为3，求b，c.WORD完美格式专业知识编辑整理三、题型归纳题型一、三角函数定义的应用1.若点P在－10π3角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于()A.－33B.33C.－3D.3变式1．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是()A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4题型二、三角函数值的符号2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是()A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4变式2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα＝()A.43B.34C．－34D．－43WORD完美格式专业知识编辑整理题型三、同角三角函数关系式的应用3.已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－43B.54C．－34D.454.已知sinαcosα＝18，且5π4＜α＜3π2，则cosα－sinα的值为()A．－32B.32C．－34D.34变式3.已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα等于()A．－1B．－22C.22D．1题型四诱导公式的应用5．(1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝________.(2)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＝______变式4.已知角终边上一点p(-4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22的值为题型五、三角函数的图形变换WORD完美格式专业知识编辑整理6.（1）要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位（2）某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π错误!2πXπ3错误!Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．WORD完美格式专业知识编辑整理变式5.已知函数y＝2sin2x＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．题型六、三角函数的性质问题7.（1）函数y＝2sinπ3－2x的单调增区间为________.WORD完美格式专业知识编辑整理（2）已知函数f(x)＝cosωx＋φ－π2ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则y＝fx＋π6取得最小值时x的集合为()A.x|x＝kπ－π6，k∈ZB.x|x＝kπ－π3，k∈ZC.x|x＝2kπ－π6，k∈ZD.x|x＝2kπ－π3，k∈Z（3）函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象()A.关于点π2，0对称B.关于直线x＝5π12对称C.关于点5π12，0对称D.关于直线x＝π12对称（4）当x＝π4时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小WORD完美格式专业知识编辑整理值，则函数y＝f3π4－x是()A.奇函数且图象关于点π2，0对称B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x＝π2对称D.偶函数且图象关于点π2，0对称变式6.已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)．(1)求f5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．WORD完美格式专业知识编辑整理题型七、最值与值域问题8.已知函数2()(sinxcosx)cos2fxx。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值。变式7、已知函数()2sin()cos()sin(23)33fxxxx，若将函数图像向左平移4个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)在区间0,2上的最大值和最小值之和为。WORD完美格式专业知识编辑整理题型八、三角函数的求值、求角问题9.（1）已知51sin,0,,tan523，则tan(2)=。（2）已知锐角α，β满足sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋β等于()A.3π4B.π4或3π4C.π4D．2kπ＋π4(k∈Z)变式8.（1）已知cosθ＋π4＝1010，θ∈0，π2，则sin2θ－π3＝________.(2)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6！题型九、三角恒等变换的应用WORD完美格式专业知识编辑整理10.已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈－π2，π2.(1)当a＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若fπ2＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．变式9.函数f(x)＝sin(2x－π4)－22sin2x的最小正周期是________．题型十、利用正、余弦定理解三角形11.（1）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若aWORD完美格式专业知识编辑整理＝2,c＝23,cosA＝32,且bc,则b＝()A.3