第五章波动率的估计(GARCH模型)

金融时间序列模型第五章：波动率的估计金融时间序列模型其它ARCH类模型ARCH(q)模型ttth22110qtqtthVt是独立白噪声过程为反映收益率波动的异方差性，ARCH模型将条件方差表示为滞后残差平方的线性函数th引入GARCH模型的背景：ARCH模型虽然简单但为了充分描述波动性聚类的特点往往需要很多参数，即要提高ARCH模型的阶数p。但p较大时，参数估计不再精确，由此计算出的条件方差也不精确，存在较大误差。为克服这一问题，Bollerslev1986提出了广义的ARCH模型。GARCH（p,q）广义条件异方差模型ttth相比ARCH模型：1)GARCH(p,q)模型是ARCH模型的扩展,即GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线性函数。2211110qtqtptptthhh2)GARCH模型适合在计算量不大时,方便地描述了高阶的ARCH过程,因而具有更大的适用性GARCH(1,1)ttth1101)(tVarht是条件方差，随时间变化而变化。无条件均值无条件方差0)(tE211110ttthhGARCH(1,1)的性质：1)GARCH(1,1)等价一个无穷的ARCH过程232222211211022122112111021221012110112110)1()1()(tttttttttttthhhh是无穷阶ARCH过程2t2)过程是一个ARMA(r,p)过程,其中),max(qpr对于GARCH(p,q),tttvh2211110qtqtptptthhh2221122112121102)()(tqtqtptptptptptttthhh变形有ttthw2令合并同类项有221111102)()(rtrptptpttt0j0lqjpl时时满足：0)(twE1,0),cov(jwwjttttthw2tw但一般不是独立同分布的而GARCH(1,1)过程的峰度公式GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性峰度=4阶原点矩/标准差的四次方正态分布的峰度=3意味着GARCH(1,1)过程的峰度3)(4tvE)(3)(24tthEE2112121224)(2163)]([)(ttEEKGARCH性质1)当p=0时,GARCH过程成为ARCH过程,ARCH过程是GARCH的特例，这也是该过程被称为广义的原因。2)GARCH过程的含义是条件方差ht是ht-1,…ht-p和t-1,t-q的函数。3）参数i,i=1,2,…,q和i,i=1,2,…,p大于零是保证条件方差为正的充分条件,而不是必要条件。4)可以证明{2t}平稳的条件是1+…+q+1+…+p1。GARCH性质GARCH预测考虑GARCH(1,1)模型，假定T为预测原点。对向前一步预测，我们有，TTThh12101于是TTTTThFhEh12101)|()1(GARCH（1，1）的向前多步预测对向前多步预测，我们用将GARCH(1,1)公式改写为22tttvh)1()(2111012101tttttttvhhhvhh从而得GARCH(1,1)以T为预测原点的向前两步预测公式)1()(]|)1()([)|()2(110211111102TTTTTTTThFvhhEFhEh0)|1(21TTFvE利用一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l步的公式)1()()(110lhlhTT1l对上式重复迭代我们得到向前l步预测能够写成)(,1)1()(1])(1[)(110111111110lhlhTllTGARCH(1,1)的无条件方差练习题1：求GARCH(1,2)的向前一步和向前两步预测公式GARCH(1,2)模型：tttvh222211110tttthhtv是独立同分布的白噪声过程，并且,0)(tvE.1)(tvVarARMA和GARCH过程的比较性质髙斯白噪声ARMAGARCHARMA-GARCH条件均值条件方差条件分布边际均值和方差边际分布常数常数正态常数正态非常数常数正态常数正态0非常数正态常数厚尾非常数非常数正态常数厚尾实际例子5.2实际例子5.3ARCH与GARCH模型一些共同的缺点不能反应波动率的非对称特点约束强，要求系数非负，如果要求高阶矩存在，还有更多的约束不能解释为什么存在异方差，只是描述了条件异方差的行为GJR模型反映波动率的非对称性S-1是虚拟变量，如果t-10，则S-1取值为1，如果t-10则S-1取值为0。通过画出响应曲线，看到市场利空和利好消息对波动率的不同影响ttth2112211110tqtqtptpttShhkhGJR模型响应曲线05101520-10-505ZSIG2EGARCH指数广义条件异方差模型ttttqtqtrtrttEvgvgvghhkh|)}(||{|)()(...)(lnlnln111100同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负扰动要大；0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负扰动要小;=0同等程度的正扰动引起条件方差的变化与负扰动相等。EGARCH模型1）重要特征是引入不对称性2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后的条件方差建模，，可以保证方差为对数。3）可以假设t~广义误差分布4）假设vt是正态分布时E(|vt|)=(2/)1/2ARCH-M模型tttthgXy)(g()是条件方差的函数通常是ht，lnhtttth22110qtptth