《数学分析》笔记

《数学分析》笔记班级：10级本科一班姓名：张科目录第二模块笔记.........................................................................错误!未定义书签。第一部分实数集与函数..............................................错误!未定义书签。第二部分数列极限.....................................................错误!未定义书签。第三部分函数极限.....................................................错误!未定义书签。第四部分函数连续性..................................................错误!未定义书签。第五部分导数与微分.................................................错误!未定义书签。第六部分微分中值定理及其应用..............................错误!未定义书签。第八部分不定积分......................................................错误!未定义书签。第九部分定积分.........................................................错误!未定义书签。第十部分定积分的应用..............................................错误!未定义书签。第十一部分反常积分..................................................错误!未定义书签。第十二部分数项级数..................................................错误!未定义书签。第十三部分函数列与函数项级数..............................错误!未定义书签。第十四部分幂级数......................................................错误!未定义书签。第十五部分傅里叶级数..............................................错误!未定义书签。第十六部分多元函数的极限与连续..........................错误!未定义书签。第十七部分多元函数微分学......................................错误!未定义书签。第十八部分隐函数定理及其应用..............................错误!未定义书签。第十九部分含参量积分..............................................错误!未定义书签。第二十部分曲线积分..................................................错误!未定义书签。第二十一部分重积分..................................................错误!未定义书签。第二十二部分曲面积分..............................................错误!未定义书签。第二模块笔记第一部分实数集与函数§1实数数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念一．实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数：若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如：记为；0记为；记为实数大小的比较定义1给定两个非负实数其中为非负整数，。若由1）则称与相等，记为2）若存在非负整数，使得，而，则称大于（或小于），分别记为（或）。规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数，若按定义1有，则称实数的有理数近似表示定义2设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。对于负实数的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比如，则1.4,1.41,1.414,1.4142,称为的不足近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143,称为的过剩近似值。命题设为两个实数，则实数的一些主要性质1四则运算封闭性:2三歧性(即有序性):3实数大小由传递性，即4Achimedes性:5稠密性:有理数和无理数的稠密性.6实数集的几何表示───数轴:例二.绝对值与不等式绝对值定义：从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：绝对值的一些主要性质性质4（三角不等式）的证明：三.几个重要不等式:⑴⑵对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有均值不等式:等号当且仅当时成立.⑶Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)对由二项展开式有:上式右端任何一项.§2数集。确界一区间与邻域:邻域二有界数集.确界原理:1.有界数集:定义(上、下有界,有界)闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.无界数集:对任意，存在，则称S为无界集。等都是无界数集,例证明集合是无界数集.证明：对任意,存在由无界集定义，E为无界集。确界先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。精确定义定义2设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：（1）对一切有，即是数集S的上界；（2）对任何存在使得（即是S的最小上界）则称数为数集S的上确界。记作定义3设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：（3）对一切有，即是数集S的下界；（4）对任何存在使得（即是S的最大下界）则称数为数集S的下确界。记作§3函数概念一函数的定义1.函数的几点说明.函数的两要素:定义域和对应法则约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.函数的表示法:解析法,列表法,图像法.分段函数狄里克雷函数黎曼函数三函数的四则运算（见课本）四.函数的复合:六初等函数:基本初等函数:1常函数2幂函数幂函数§4具有某些特性的函数1.有界函数若函数在定义域上既有上界又有下界，则称为上的有界函数。这个定义显然等价于，对一切，恒有请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。例是无界函数。证明对任意的，存在，取，则2.单调函数3.奇函数与偶函数（1）定义域关于原点对称周期函数1)通常我们所说的周期总是指函数的最小周期2)有的周期函数不一定有最小周期，例如常函数是周期函数，狄里克雷函数，它们显然没有最小周期第二部分数列极限§1数列极限概念对于数列，设A是一个常数，若任给，都存在相应的自然数时，，则称A为数列的极限。下面我们通过图示，对数列定义作几点说明：（1）的任意性（2）的相应性三、用极限定义证明的例题2.数列极限的等价定义:对对任正整数§2收敛数列的性质1.极限唯一性：（证）2.收敛数列有界性——收敛的必要条件：（证）3.收敛数列保号性：定理2.4设或.则对(或(或例1设证明：若则（证）定理2.5设若，（注意“=”；并注意和的情况）.推论若则对4.定理（迫敛性）(证)5.绝对值收敛性:(注意反之不确).(证)推论设数列{}和{}收敛,则6.四则运算性质:7.子列收敛性:子列概念.定理(数列收敛充要条件){}收敛{}的任何子列收敛于同一极限.定理(数列收敛充要条件){}收敛子列{}和{}收敛于同一极限.定理(数列收敛充要条件){}收敛子列{}、{}和{都收敛.(简证)一、利用数列极限性质求极限:两个基本极限：1.利用四则运算性质求极限：数列的单调递增是显然的,有界很容易用归纳法证明,而且利用单调有界定理,设其极限为,则有,A=2定理2.10数列{收敛，（或数列{收敛，}第三部分函数极限§1函数极限概念一趋于时函数的极限设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数。例如，对于函数从图象上可见，当无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数，则当趋于时函数值无限地接近于。我们称这两个函数当时有极限。一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下：定义1设定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时,有，则称函数当趋于时以为极限，记作或。说明:(1)、在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数。因此，当趋于时函数以为极限意味着：的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值。(2)、定义1的几何意义如下图所示，对任给的，在坐标平面上平行于轴的两条直线与，围成以直线为中心线、宽为的带形区域；定义中的“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域之内。如果正数给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数，使得曲线在直线的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。定义1的否定叙述:定义1’设定义在上的函数，为定数。若存在某个0，对任意充分大的正数M，总存在某个Mx,使得:Axf)(0，则称函数当趋于时不以为极限.(3)、现设为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近某定数，则称当或时以为极限，分别记作:或;或这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“”分别改为“”或“”即可。问题:?)(lim)(lim何写的否定叙述的定义又如或AxfAxfxx(4)、显然,若为定义在上的函数，则（1）(返回)二趋于时函数的极限设为定义在某个空心邻域内的函数。现在讨论当趋于时，对应的函数值能否趋于某个定数。这类函数极限的精确定义如下：定义2（函数极限的定义）设函数在某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或。下面我们举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限。请读者特别注意以下各例中的值是怎样确定的。通过以上各个例子，读者对函数极限的定义应能体会到下面几点：1.定义2中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于，但也不是由所唯一确定，一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨。如在例3中可取或等等。2.定义中只要求函数在某一空心邻域内有定义，而一般不考虑在点处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于过程中函数值的变化趋势。如在定理3.9设函数在点的某空心右邻域有定义。的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，有。这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要作适当的修改，以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下：定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。证不妨设在上递增。因在上有界，由确界原理，存在，记为。下证。事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。取，则由的递增性，对一切=，有另一方面，由，更有。从而对一切有这就证得。最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。定理3.11（柯西准则）设在内有定义。存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，，有．证必要性设，则对任给的，存在正数，使得对任何有。于是对任何，有。充分性设数列且。按假设，对任给的，存在正数，使得对任何，有。由于（），对上述的，存在，使得当时有，,从而有.于是,按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在,记为,即.设另一数列且,则如上所证,存在,记为.现证.为此,考虑数列:,,,,．．．,,,．．．易见且故仍如上所证,也收敛.于是，作为的两个子列，与必有相同的极限。所以由归结原则推得按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限不存在的充要条件：存在，对任何（无论多么小），总可找到，，使得．如在例１中我们可取，对任何设正整数，令，，则有，