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第三章不等式§3.1不等关系与不等式第二课时不等式的性质课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础自学导引1.掌握不等式的有关性质.2.利用不等式的性质,进行数或式的大小比较或不等式的证明.3.掌握用不等式(组)研究含有不等关系的问题.课前热身不等式的性质1.ab⇔b________a.2.ab,bc⇒a________c.3.ab⇔a+c________b+c.4.(1)ab,c0⇒ac________bc;(2)ab,c0⇒ac________bc.5.ab,cd⇒a+c________b+d.6.ab0,cd0⇒ac________bd.7.ab0⇒an________bn(n∈N,n≥2).8.ab0⇒na________nb(n∈N,n≥2).1.2.3.4.自我校对5.6.7.8.名师讲解1.在应用不等式的性质时应注意的问题在使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的条件,不能盲目套用,否则就会出错.例如:(1)性质5ab,cd⇒a+cb+d,即两个同向不等式可以相加,也可以表示为ab,cd⇒a+cb+d.(2)性质6ab0且cd0⇒acbd.不但要求两个不等式同向,而且不等式两边必须为正值,否则结论不一定成立,假设去掉大于0这个条件,取a=3,b=2,c=-4,d=-5,则有3×(-4)2×(-5)的错误结论.(3)性质7ab0⇒anbn(n∈N且n≥2),若忽略n∈N,且n≥2,就会引出错误的结论.如取a=3,b=2,n=-1,则有3-12-1,即1312的错误结论.(4)注意不等式性质的单向性或双向性.也就是说每条性质是否具有可逆性.仅有ab⇔ba,ab⇔a+cb+c具有可逆性.其余几条性质是不可以逆推的.2.利用不等式的性质,求取值范围问题利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题,对于这类问题要注意:“同向不等式的两边可以相加”,这种转化不是等价变形,在一个解题过程中多次使用这种转化时,就有可能扩大真实的取值范围.解题时务必小心谨慎,先建立待求范围的整体,与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性不等关系的运算,求得待求的范围”,是避免犯错误的一条途径.3.不等式性质的应用不等式性质的应用非常广泛,但就类型来说主要是两类:一类是在实际生活中的应用,这要求我们具有数学建模的思想和能力;另一类是与其他章节知识综合命题,即在所谓知识交汇处命题,这是现在高考命题的趋势.解决此类问题,除要综合运用不等式的性质外,还要注意其他相关章节知识的运用.课堂互动探究剖析归纳触类旁通利用不等式的性质判断命题的真假一【例1】下列说法正确的是________.①若ab,则ac2bc2;②若ab,则1a1b;③若ac2bc2,则ab;④若ab0,则a2abb2;⑤若ab0,则a2b2;⑥若cab0,则ac-abc-b;⑦若ab且1a1b,则a0,b0;⑧若ab,则lgalgb.典例剖析【分析】充分利用上述性质及性质中的条件,理解符号的变化规律及大小的比较方法.【解】①若c=0时ac2=bc2,故不正确.②若a0,b0,则1a1b,故不正确.③∵ac2bc2,∴c2≠0,则c20,故ab成立.④a2-ab=a(a-b),∵ab0,∴a-b0.∴a(a-b)0,故a2ab,而ab-b2=b(a-b),又b0,a-b0,∴abb2.∴原式成立.⑤a2-b2=(a-b)(a+b),∵ab0,∴a-b0,a+b0,∴a2-b20,∴a2b2.∴原式成立.⑥ac-a-bc-b=ac-ab-bc+abc-ac-b=ca-bc-ac-b.∵cab0,∴a-b0,c-a0,c-b0,c0,∴ac-abc-b.∴原式成立.⑦∵ab,∴a-b0,又1a1b,∴1a-1b0,即b-aab0,而ab,∴ab0且ab,∴a0,b0,∴原式成立.⑧ab时,a、b不一定为正数,故lga与lgb可能无意义,故应填③④⑤⑥⑦.答案③④⑤⑥⑦规律技巧(1)通过本例的练习,可以使我们熟悉不等式的性质,更好地掌握各性质的条件和结论.在各性质中,乘法的性质最易出错,即在不等式两边同乘(除以)一个数时,必须确定该数是正数、负数或是零,当不确定时,结论不成立.(2)要判断一个命题是真命题,应说明理由或严格证明,若判断命题是假命题时只需举出一个反例即可.利用不等式的性质证明简单的不等式二【例2】证明下列不等式.(1)已知ab0,求证:baab;(2)已知ab0,求证:abba;(3)已知ab,1a1b,求证:ab0.【分析】首先作差,对差进行分析或利用不等式的性质,对已知不等式进行变形,从而得出要证的不等式.证明(1)ba-ab=b2-a2ab,∵ab0,∴-a-b0,∴a2b2.故b2-a20.又∵ab0,∴b2-a2ab0,∴baab.(2)∵ab0,∴ab0.①又∵ab0,两边同乘正数1ab,得1b1a0.②①②两式相乘,得abba.(3)∵1a-1b=b-aab,∵ab,∴b-a0.又∵1a1b,∴1a-1b0,∴b-aab0.∴ab0.规律技巧(1)中,ab0变形为-a-b0;(3)可作为不等式两侧同时取倒数的依据.利用不等式性质求变量的取值范围三【例3】已知-6a8,2b3,分别求2a+b,a-b,ab的取值范围.【分析】解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求解.【解】∵-6a8,2b3,∴-122a16.∴-102a+b19.又∵-3-b-2,∴-9a-b6.又131b12,(1)当0≤a≤8时,0≤ab4;(2)当-6a0时,-3<ab<0.由(1)(2)得-3ab4.规律技巧解决此类问题,要注意题设中的条件,充分利用已知求解,否则易出错,同时在交换过程中要熟练掌握,准确使用不等式的性质,不能出现同向不等式相减,相除的错误.易错探究已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求3a-2b的范围.【错解】∵1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,∴0≤a≤4.又∵1≤a+b≤5,-3≤-(a-b)≤1,∴-1≤b≤3.∵0≤a≤4,-1≤b≤3,∴0≤3a≤12,-6≤-2b≤2,∴-6≤3a-2b≤14.【错因分析】在错解中,由已知条件推出不等式-6≤3a-2b≤14的各个步骤,均实行了不等式性质中的推出关系,但结论是不正确的,事实上,由1≤a+b≤5与-1≤a-b≤3,得到0≤a≤4,-1≤b≤3,但这并不意味着a与b可各自独立地取得区间[0,4]与[-1,3]的一切值.如取a=4,b=3时,a+b=7,就已超出题设条件1≤a+b≤5中的范围,细究缘由,就是推出关系并非等价关系.【正解】设x=a+b,y=a-b,则a=x+y2,b=x-y2,∵1≤x≤5,-1≤y≤3,∴3a-2b=12x+52y.又12≤12x≤52,-52≤52y≤152,∴-2≤12x+52y≤10.即-2≤3a-2b≤10.随堂训练1.设a,b为非零实数,若ab,则下列不等式成立的是()A.a2b2B.ab2a2bC.1ab21a2bD.baab解析用a=-1,b=1,试之,易排除A,D.再取a=1,b=2,易排除B.答案C2.设a=log122,b=log1313,c=120.3,则()A.abcB.acbC.bcaD.bac解析易知a=log1320,b=log1213log1212=1,0c=120.31,∴bca.答案B3.判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)如果ab,那么a-cb-c;(2)如果ab,那么acbc;(3)如果acbc,那么ab;(4)如果ac2bc2,那么ab.解(1)正确,符合性质3;(2)不正确,当c0时不正确;(3)不正确,当c0时不正确;(4)正确,因为ac2bc2,所以c20,所以由性质4,可得ab.4.(1)若bc-ad≥0,bd0,求证:a+bb≤c+dd;(2)已知cab0,求证:ac-abc-b;(3)已知a,b,m均为正数,且ab,求证:a+mb+mab.证明:(1)bc-ad≥0⇒bc≥ad又bd0⇒1bd0⇒cd≥ab⇒cd+1≥ab+1⇒c+dd≥a+bb⇒a+bb≤c+dd.(2)cab0⇒c-bc-a0⇒1c-a1c-b0ab0⇒ac-abc-b.(3)a+mb+m-ab=ba+m-ab+mbb+m=mb-abb+m,∵ba0,m0,∴mb-abb+m0,∴a+mb+mab.
本文标题:高中数学必修五-不等式的性质
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