数列极限的几种求解方法

1数列极限的几种求解方法张宇（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）摘要在高等数学中极限是一个重要的基本概念。高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。本文主要研究了求极限问题的若干种方法。在纷繁众多的求极限方法中,同学们往往在求解极限时不知如何下手。文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性；利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限；这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特殊方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限；利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。关键词：数列，极限，概念，定理。SolutionofthelimitAbstract：Inthehighermathematicslimitisanimportantbasicconcepts.Inthehighermathematics,someimportantconceptsofother,suchasthedifferentialandintegration,seriesareusedtodefinethelimit.Thispapermainlystudiestheproblemofseverallimit.Inthenumerousandnumerouslimitmethod,studentsofteninsolvinglimitdoesn'tknowhowtostart.Thecontentsincludethelimitforsolvingallkindsofsimplemethodusingthesummary:popularizesforcedconvergenceproperty,MonotonehavedefinedDaniel,Usingtheproofofcauchycriterionsequencelimit,Thesemethodsofsolvingproblemsaregenerallysequencelimit.Alsoincludedonthebasisofexploringtheproblemsolvingcomplexlimitmethods,suchasspecialstructuresandpropertiesofinvariable;thesequencelimit,Usingtheintegraldefinitionforsequencelimitandusethebanachcotractionprincipleasaspecialmethod,thesespecialmethodsequencelimittosolvecomplexlimitisimportant,butalsomoreconvenient.Intheactualsolvingprocess,usingvariousabovemethods.Keywords:Series,limit,theconcept,thetheorem.2引言极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。因此，掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。下面简单介绍一下求极限的几种方法，不仅具有教材建设的现实意义而且具有深刻的理论意义。一、数列极限的基本概念及基本理论（一）、数列极限的定义①设na是一个数列，若存在确定的数a，对0，0N，使当Nn时，都有|aan|，则称数列na收敛于a，即为aannlim，否则称数列na不收敛（或称发散数列）。对数列极限定义我们应注意如下问题，(i)的任意性；(ii)N的相应性，最重要的是N的存在性；(iii)收敛于a的数列na，在a的任何领域内含有na几乎全体的项，此问题可以从这句话“使得当Nn时，都有aan”看出。（二）、数列极限的性质1、唯一性若数列na收敛，则它只有一个极限。2、有界性若数列na收敛，则存在正数M，使|na|M（......2,1n）。3、保号性若aannlim0（或0），则对任意一个满足不等式0aa，（或aa0）的a，都存在正数N，使当Nn时，aan（或aan）。4、若aannlim，bbnnlim，且)(0Nnbann，则ba。①华东师范大学数学系编，《数学分析》上册，第三版，23页，定义1。35、迫敛性（两边夹）设abannnnlimlim，且)(0Nnbcannn，则acnnlim。（三）、数列极限的四则运算1、若aannlim，bbnnlim，则babannn）（lim，abbannnlim。2、若aannlim，0limbbnn，则babannnlim。（四）、常用公式1、有理式比.,,,0,,............lim01110111kmkmkmbabnbnbnbanananammkkkkmmmmn当当当2、0limnnq，其中|q|1。3、annena）（1lim。4、11sinlimnnn。（五）、充要条件1、柯西准则②数列na收敛的充要条件是：对0，总存在自然数N，使当Nmn,，都有||mnaa。2、子数列法则数列na收敛的充要条件是它的任一子列都收敛于同一极限。（六）、单调数列任何有界的单调数列一定有极限。且单调递增有界数列的极限为其上确界。单调递减有界数列的极限为其下确界。②华东师范大学数学系编，《数学分析》上册，第三版，38页，定理2.10。4二、求数列极限的方法（一）求数列极限的基本方法（1）、利用定义求数列极限例1设数列nx收敛于a，证明anxxxnn...lim21。分析：欲证anxxxnn...lim21，考虑|...||...|2121naxaxaxanxxxnn||...||||121axaxaxnn由于axnnlim。当n充分大时，||axn就充分小，上述和式的构成项||1ax，||2ax，...，||axn中后面的绝大部分项充分小，而前面不充分小的项则仅有少数几项，被分母n除后亦会充分小。证明因为axnnlim。nx是有界数列。axn也是有界数列，即存在正数0M，使得,...2,1n，皆有Maxn||。又0，01N，使得1Nn时，2||axn。于是当1Nn时，2)(||||||1111111NnMNaxaxaxnNkkNkknkk2||1|1|111nMNaxnaxnnkknkk只要取112maxNMNN，，Nn时，必有|1|1axnnkk。此即证得anxxxnn...lim21。注1、证明过程中其实采用了一种分段技术，性质不同的对象以不同的方法处理。2、为了简化证明的书写，不妨先设0a，而对一般情形，5可以做平移变换axxnn*，即等价转换为0a的命题。3、或a时，相应结论应成立，但证明须作一定修改，主要体现在对|1|1nkkxn应作反向的缩小。（2）、利用迫敛性求数列极限我们常说的迫敛性或夹逼定理。当我们面对一个数列na难以直接处理时，不妨尝试适当的放缩技术，去伪存真，去细存粗，抓住主要矛盾，使问题得以解决。例2求极限nnnnnnnnn222...2211lim分析即nknknnkC12，易知knnk2关于k单调递增。即得nnnnCnnnn2221当时n，上式左、右两端各趋于0和1，似乎无法利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩。解对nkknnk12各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变。就得如下不等关系：121122121212nnnnnnkCnnnknnnknnk令时n，上式左、右两端各趋于21，得21...2211lim222nnnnnnnnn。例3求证02limnnn证因为nnnnnnnCCCC210)11(26由于数列的分子是n的一次幂，所以可以把上式右边的第三项2nC保留，其余全部甩掉以实现对分母的缩小，达到使整个分数放大的目的，即：012)1(21202nnnnCnnnn故有02limnnn。用这种放大法下列极限为0，对所有的自然数k，有02limnknn，只要将n2的二项式展开的第1k项保留，其余甩掉，以实现整个数列的放大，找到一个无穷小nz来控制它。进一步，对所有的自然数k和所有的实数1a，0limnknan。例4设10,limaaxnn，求证：①,limaxnnn②1limnnnx。证明由极限的不等式性质可知，存在0N，使当Nn时，有212axannnnnaxa212nnnnaxa111212令n，上述两个结论成立用夹逼定理对数列进行放大和缩小时要注意“正确”和“适当”，也就是说一方面要进行正确的不等式运算，另一方面无论是放大还是缩小都要适当，即要使放大和缩小所得数列都有相同的极限。（3）、利用单调有界定理求数列极限在实数系中，有界的单调数列必有极限。不妨设{na}为有上界的递增数列，由确界原理，数列{na}有上确界，记}sup{naa，事实上，任给0。按上确界的定义，存在数列{na}中某一项Na，使得7Naa。又由{na}的递增性，当nN时有Naana。另一方面，由于a是{na}的一个上界，故对于一切na都有naaa，所以当Nn时有naaa，就得到nnalim=a。同样的有下界的递减数列也必有极限，且其极限为它的下确界。因而有界的数列必有极限。用这个知识，我们就可先判断极限的存在然后求解它。例5设22,2,10211nnacacac，证明：na收敛，并求其极限。证明先用数学归纳法可证10na......3,2,1n再用数学归纳法证明nnaa1......3,2,1n显然12aa，归纳假设1kkaa，则02121112121kkkkkkkkaaaaaaaa从而成立。由，知na单调递增有上界，lannlim（存在）222lcl，注意到1l,clann11lim。（4）、利用极限的四则运算性质求极限例6求1limnnnaa，其中1a。解若1a，则显然有211limnnnaa；8若1||a，则由0limnna得01limlim1limnnnnnnnaaaa；若1||a，则1011111lim1limnnnnnaaa。例7.nnnnn21lim解nnnnn21lim21)111(2121lim)1(22lim)1)(2)(2()2)(1)(1(limnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn注意：用运算法则时，要求各等式号右边的极限都存在。（5）、利用Cauchy收敛准则单调有界定理只是数列收敛的充分条件，而在实数系中，Cauchy收敛准则是数列收敛的充分必要条件。它的内容：数列{na}收敛的充要条件是，对于任给的,0总存在某一个自然数N，