数列极限的几种求法

数列极限的几种求法数学组周彬摘要:数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本文就着重介绍数列极限的一些求法。关键词:数列,极限，收敛SeveralkindsoflawsofaskingofseverallinesoflimitshuxuezuZhouBinAbstract:Severallimittheoryfoundationofcalculus,itrunthroughoninfinitesimalcalculusallthetime,itisainfinitesimalcalculusimportantresearchapproach.Severallinesoflimitareimportantcomponentsofthelimittheory,andseverallinesoflimitoneasksthelawtoadoptthelawofdefining,insertthemethodonbothsides,havecirclelawsdully,constructthesincereformulalawnow,,etc..Thistextrecommendssomeofseverallinesoflimittoaskthelawemphatically.Keyword:Several,limit,disappear以下介绍数列极限的求法:一、定义法:数列极限的定义如下:设{na}是一个数列,若存在确定的数a,对0N0使当nN时,都有aan则称数列{na}收敛于a，记为nnalim=a，否则称数列{na}不收敛（或称数列{na}发散）。故可从最原始的定义出发计算数列极限。例1、用-N方法求nnn1lim解：令nn1=t+1则t0n+1=nt)1(2)1(2)1(122tnntnnnt12)1(4)1()1(211nnnnnnntnn0取142N则当Nn时，有1211nnnnnn1lim=1二、单调有界法：首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：在实数系中，有界的单调数列必有极限。证明：不妨设{na}为有上界的递增数列。由确界原理，数列{na}有上界，记为supa{na}。以下证明a就是{na}的极限。事实上，0，按上确界的定义，存在数列{na}中某一项Na，使得Naa又由{na}的递增性，当Nn时有aaan，这就证得aannlim。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。例2、证明数列,222,22,2收敛，并求其极限。证：222na，易见数列{na}是递增的。现用数学归纳法来证明{na}有上界。显然221a。假设2na,则有22221nnaa，从而对一切n有2na,即{na}有上界。由单调有界定理，数列{na}有极限，记为a。由于nnaa221，对上式两边取极限得aa22，即有（a+1）（a-2）=0，解得a=-1或a=2由数列极限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有2222limn三、运用两边夹法：迫敛法：（两边夹法）设收敛数列{na}，}{nb都以a为极限，数列}{nc满足：存在正数0N当0Nn时有nnncba（1）则数列}{nc收敛且acnnlim证：0由abannnnlimlim分别存在正数1N与2N使得当1Nn时有naa（2）当2Nn时有abn（3）取},,max{210NNNN则当Nn时不等式（1），（2），（3）同时成立即有nknkn141limabaann从而有acn即证所得结果。例3、求21)!(limnnn解：1nnnnnnn11122)()!(（1）nnn1lim=1由（1）式及两边夹法则21)!(limnnn=1。四、先求和再求极限：例4、求极限解:五、先用放缩法再求极限：例5、求极限)332211(lim2222nnnnnnnnnnn解：记nnnnnnnnnnxn2222332211则nnnnxnnnn2221121)(2)1()1(2)1(22nnnnnxnnnnn又)2(2)1(lim21)1(2)1(lim22nnnnnnnnnn)13)(12)(1(301214nnnnnknk时当时当时当5551501lim14nknkn由两边夹法则)332211(lim2222nnnnnnnnnnn=21六、用施笃兹公式：首先我们介绍并证明施笃兹公式：施笃兹公式（stolz）：设数列{ny}单调递增趋向于，Ayyxxnnnnn11lim（1）（可以为无穷）则Ayxnnnlim例6、设axnnlimnxxxnn21求：nnlim解：由施笃兹公式nxxxnnnn21limlimaxnnxxxxxxnnnnnlim)1()()(lim12121以上介绍了数列极限的一般求法，本文的目的不在于只列举几个例题，而在于寻求一些常见的数列极限的求法，可能方法不够全面，在此只希望能起抛砖引玉的作用，以供大家探讨。参考文献：1．华东师范大学数学系编，数学分析（上，下），高等教育出版社，20012．复旦大学数学系编，数学分析（上，下），高等教育出版社，19853．钱吉林等主编，数学分析题解精粹，崇文书局，20034．B.吉米多维奇，数学习题集,李荣冻译，人民教育出版社，1978