旋转矢量和振动合成

19-2旋转矢量表示和振动合成第二讲旋转矢量表示和振动合成2-0回顾2-1简谐振动旋转矢量表示法2-2相位差2-3简谐振动的合成9-2旋转矢量表示和振动合成2-0回顾•运动学特征：cos()xtωφ=Α+22020ωv+=xA00tanxωϕv−=初始条件决定•能量特征：22pk21AkAEEE∝=+=22mTkππω==22lTgππω==2πJTmgb=系统性质决定2πTLC=•动力学特征：fkx=−θ=−fkθ=−Mk0xdtxd222=+ω2222dxdfmmldtdtθ==22dMJdtθ=9-2旋转矢量表示和振动合成2-1简谐振动旋转矢量表示法1.圆周运动与简谐振动)cos(ϕω+=tAx9-2旋转矢量表示和振动合成)cos(ϕω+=tAx以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动是否为简谐运动？xAvo9-2旋转矢量表示和振动合成x参考圆参考轴oϕcos0Ax=cos()xAtωϕ=+2.旋转矢量表示的规定ϕAv当时0=t0xωx旋转矢量phase:tωϕ+9:55159-2旋转矢量表示和振动合成ωA=mv)2πcos(++=ϕωωtAv)cos(2ϕωω+−=tAa2nωAa=2π++ϕωtmvvvvωxy0Avϕω+t)cos(ϕω+=tAxnavav3.速度、加速度的旋转矢量表示*29-2旋转矢量表示和振动合成A谐振动旋转矢量ϕωt+ϕωT振幅初相位相圆频率谐振动周期半径初始角坐标角坐标角速度圆周运动周期物理模型与数学模型比较：9-2旋转矢量表示和振动合成（旋转矢量旋转一周所需的时间）ωπ2=T4.旋转矢量与简谐运动的图tx−9-2旋转矢量表示和振动合成5.利用旋转矢量很容易求出简谐振动的位相和初位相例1.已知位相求状态如：位相13tωφπ+=，问状态？3πωxxx2Ax=,且向负向运动。位相232tωφπ+=，问状态？0x=，且向正向运动。x例2.已知状态求位相（特别是初位相），，，求？如：0t=2Ax0=φ0v03φπ=−或53φπ=如：0t=，2Ax0−=，0v0,求？φ34φπ=如：2A2A−oo注意四个特殊状态的值！φA10:10109-2旋转矢量表示和振动合成oxyArω0x0v0x0x0x0v0v0a0a0a0a0v小结：旋转矢量法确定初位相。ⅠⅢⅣⅡ9-2旋转矢量表示和振动合成例3.已知简谐振动，当时位移为且向负向运动。求（1）振动方程。（2）且向正向运动时的速度、加速度及从这一位置回到平衡位置的最小时间。cm10A=0t=s2T=cm5−xcm5x=x解（1）cos()xAtωφ=+2Tπωπ==)srad(t0t=2A−由旋转矢量得23πφ=20.1cos()3xtππ=+x（2）先求:由旋转矢量法t1tsφπωπΔ===（半个周期）oω2/A9-2旋转矢量表示和振动合成sin()0.1sin(23)0.27m/svAtωωφπππ=−+=−+=222cos()0.1cos(23)0.49m/saAtωωφπππ=−+=−+=−由旋转矢量法'5236πππφΔ=+='565s6tφπωπΔΔ===0t=2A−tx'tω39-2旋转矢量表示和振动合成AA−x2Atoab¾相位差：表示两个相位之差.1.对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(12ϕωϕωϕ+−+=Δtt)cos(1ϕω+=tAx)cos(2ϕω+=tAxωϕΔ=−=Δ12ttt3π=ΔϕTTt61π23π==Δvv0xAA−ωatϕΔ2Abt2-2相位差10:20159-2旋转矢量表示和振动合成0=Δϕxto同步2.对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）)cos(111ϕω+=tAx)cos(222ϕω+=tAx)()(12ϕωϕωϕ+−+=Δtt12ϕϕϕ−=ΔxtoϕΔ为其它超前落后txoπ±=Δϕ反相9-2旋转矢量表示和振动合成21()/tφφωΔ=−12ϕϕϕ−=ΔxoϕΔ0ϕπΔx2超前x1ϕΔ2(:0)orπϕππϕΔ−Δx2落后x1||ϕΔ12ϕϕϕ−=Δ由相位的超前或落后，可求出时间的超前与落后xto2x1xxoϕΔxto1x2x9-2旋转矢量表示和振动合成例4.已知x-t曲线，写出振动方程，并求它们的位差？解：0.2mA=2(1/s)2Tππω==12πϕ=−10.2cos()22xtππ=−23πφ=−20.2cos()23xtππ=−21326πππφφφ⎛⎞Δ=−=−−−=⎜⎟⎝⎠4sT=m/xo1234561.02.012t/sϕΔm/x1Av2Avx2超前x1π/6讨论:位相差反映了两振动达到同一状态有时间差ωϕΔtΔ=)s3126(==ππ(SI)(SI)9-2旋转矢量表示和振动合成1ϕ1Av1xx01.两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx+=22112211coscossinsintanϕϕϕϕϕAAAA++=)cos(212212221ϕϕ−++=AAAAA)cos(ϕω+=tAx)cos(111ϕω+=tAx)cos(222ϕω+=tAxϕωAvx2x2Av2ϕ两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动2-3简谐振的合成10:45159-2旋转矢量表示和振动合成xxtooπ212k+==ϕϕϕ)cos()(21ϕω++=tAAxAω21AAA+=ϕ1A2AT1）相位差π212k=−=Δϕϕϕ),210(L±±=，，k)cos(212212221ϕϕ−++=AAAAA讨论49-2旋转矢量表示和振动合成xxtoo21AAA−=2ϕϕ=π)cos()(12+−=tAAxωω)cos(212212221ϕϕ−++=AAAAAT2A2ϕ1AA2）相位差π)12(12+=−=Δkϕϕϕ),10(L±=，ktAxωcos11=)πcos(22+=tAxω9-2旋转矢量表示和振动合成3）一般情况2121AAAAA−+21AAA−=2）相位差1）相位差21AAA+=π212k=−ϕϕ)10(L，，±=k相互加强相互削弱π)12(12+=−kϕϕ)10(L，，±=k9-2旋转矢量表示和振动合成1ϕ1Avxo2多个同方向同频率简谐运动的合成*2Av2ϕ3Av3ϕϕ)cos(ϕω+=tAxnxxxx+++=L21LL)cos(111ϕω+=tAx)cos(222ϕω+=tAx)cos(nnntAxϕω+=Avω多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动11:00109-2旋转矢量表示和振动合成1Av2Av3Av4Avxo5AvϕΔϕΔϕΔϕΔϕΔϕΔ0NAAAii==∑AvLLtAxωcos01=)cos(02ϕωΔ+=tAx])1(cos[0ϕωΔ−+=NtAxN)2cos(03ϕωΔ+=tAx1Av2Av3Av4AvxO5Av6Av0=A),2,1','(L±±=≠kkNk2）π'2kN=Δϕ1）π2k=Δϕ),2,1,0(L±±=k个矢量依次相接构成一个闭合的多边形.N讨论9-2旋转矢量表示和振动合成3.两个同方向不同频率简谐运动的合成频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.11:10109-2旋转矢量表示和振动合成合振动x=x1+x2设分振动x1=Acosω1tx2=Acosω2t用2cos2cos2coscosβαβαβα−+=+tcosω)t(A合振动特点：（1）合振动频率（2）合振幅21212ωωωωω≈≈+=)t2cos(A2)t(A21ωω−=)t2cos()t2cos(A2x2121ωωωω+−=21π2Tωω−=212Tπωω=−•拍频（振幅变化的频率）1max2AA=0min=A12ννν−=59-2旋转矢量表示和振动合成拍的利用:（1）乐音调准。混频中放功放电台1ν本机振荡KHZ46512+=νν中频（拍频）KHZ465（2）超外差收音机利用电磁振动的拍现象。9-2旋转矢量表示和振动合成4.两个相互垂直的同频率简谐运动的合成)(sin)cos(21221221222212ϕϕϕϕ−=−−+AAxyAyAx质点运动轨迹)cos(11ϕω+=tAx)cos(22ϕω+=tAy（椭圆方程）讨论xAAy12±=直线（1、3象限）（2、4象限）=−=12ϕϕϕΔ0π1)yx1A2Ao11:20109-2旋转矢量表示和振动合成2）21π2π2φφ⎧−=⎨−⎩1222212=+AyAxxy1A1A−2A2A−3).Δφ=其它值斜椭圆之间为右旋ϕΔ0π在之间为左旋ϕΔππ2在正椭圆右旋左旋圆21AA=xy1A2Ao右旋左旋9-2旋转矢量表示和振动合成用旋转矢量描绘振动合成图21π2ϕφφΔ=−=右旋9-2旋转矢量表示和振动合成简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差9-2旋转矢量表示和振动合成5.两相互垂直不同频率的简谐运动的合成)cos(111ϕω+=tAx)cos(222ϕω+=tAynm=21ωω2π,8π3,4π,8π,02=ϕ01=ϕ测量振动频率和相位的方法李萨如图11:30569-2旋转矢量表示和振动合成作业习题练习册练习30