§-5.2--线性微分方程组的一般理论

§5.2线性微分方程组的一般理论GeneralTheoryofLinearODEs掌握线性齐次微分方程组的解的性质及代数结构。掌握线性非齐次微分方程组的解的代数结构，理解常数变易法的基本思想。本节要求/Requirements/§5.2GeneralTheoryofLinearODEs(5.14)0)(tf则(5.14)称为非齐次线性的。0)(tf则方程(5.15）称为齐次线性的。xAx)(t如果(5.15))()(ttdtdfxAxx若)(tA为常数矩阵，则称为常系数线性方程组。如果Axx§5.2GeneralTheoryofLinearODEs5.2.1齐线性微分方程组定理2（叠加原理）如果u(t)和v(t)是(5.15)的解，)()(ttvu也是(5.15)的解。则它们的线性组合xAx)(t(5.15)证明：])()([ttvu)()(ttvu)()()()(ttttvAuA)]()()[(tttvuA§5.2GeneralTheoryofLinearODEs)(,),(),(tttnxxx21如果是(5.15)的解，则)()()(tctctcnnxxx2211也是(5.15)的解。可验证ttttttsincos)(,cossin)(21xx是方程组0110xx的解，则ttCttCtsincoscossin)(21x也是方程组的解。§5.2GeneralTheoryofLinearODEsbta)(,),(),(tttmxxx21,,,,mccc21btatctctcmm,)()()(0xxx2211成立；否则，)(,),(),(tttmxxx21为线性无关的。基本概念/BasicConcept/定义在区间上的向量函数是线性相关的，如果存在不全为零的常数使得等式§5.2GeneralTheoryofLinearODEs,001,00tkt00,例线性无关。设有n个定义在区间bta上的向量函数,)()()()(txtxtxtn121111x)()()()(txtxtxtn222122x)()()()(,,txtxtxtnnnnn21xt§5.2GeneralTheoryofLinearODEs由这n个向量函数构成的行列式，)()()()()()()()()(det)()](,),(),([txtxtxtxtxtxtxtxtxtWtttWnnnnnnn21222211121121xxx称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。如果向量函数)(,),(),(tttnxxx21上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式btatW,0)(定理3bta在区间§5.2GeneralTheoryofLinearODEs由假设，存在不全为零的常数nccc,,,21使得btatctctcnn,)()()(0xxx2211(5.16)证明01122111)()()(txctxctxcnn02222211)()()(txctxctxcnn02211)()()(txctxctxcnnnnn其系数行列式恰是)(tWbtatW0)(证毕§5.2GeneralTheoryofLinearODEs线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式)(,),(),(tttnxxx21btatW,)(0设有某一个btat00,使得,)(00tW考虑下面的齐次线性代数方程组：0xxx)()()(0022011tctctcnn(5.17)定理4如果(5.15)的解证明用反证法。§5.2GeneralTheoryofLinearODEs它的系数行列式00)(tW，所以(5.17)有非零解,~,,~~,nccc21以这个非零解作向量函数)(tx(5.18))(~)(~)(~tctctcnnxxx22110x)(0t满足初始条件(5.19)的解。bta(5.19)易知x(t)是(5.15)的解，且满足初始条件而在上恒等于零的向量函数0也是(5.15)的0xxx)(~)(~)(~0022011tctctcnn§5.2GeneralTheoryofLinearODEs0x)(tbtatctctcnn,)(~)(~)(~0xxx2211因为nccc~,,~~,21不全为零，这就与线性无关矛盾。)(,),(),(tttnxxx21由解的唯一性，知道即定理得证。结论)(,),(),(tttnxxx21斯基行列式W(t)或者恒等于零，或者恒不等于零。由(5.15)的解作成的伏朗§5.2GeneralTheoryofLinearODEs),(t1x定理5(5.15)一定存在n个线性无关的解。,)(00101tx,)(01002tx1000)(tnx),(t2x)(tnx,)(010tW)(,),(),(tttnxxx21线性无关定理得证。§5.2GeneralTheoryofLinearODEs是(5.15)n个线性无关)()()()(tctctctnnxxxx2211这里nccc,,,21的解，则(5.15)的任一解x(t)均可表示为)(,),(),(tttnxxx21定理6如果是相应的确定常数。任取(5.15)的任一解，它满足],[0bat令)()()()(00220110tctctctnnxxxx上式看作是以nccc,,,21为未知量的线性代数方程组，证明00xx)(t(5.20))(tx§5.2GeneralTheoryofLinearODEs系数行列式就是)(,),(),(),(ttttWnxxx210因为0)(0tWnccc~,,~,~21它显然是(5.15)的解，且满足条件线性无关，则，(5.20)有唯一解作向量函数)(~)(~)(~tctctcnnxxx2211)(~)(~)(~0022011tctctcnnxxx)(0tx)(~)(~)(~tctctcnnxxx2211)(tx初始条件，因此由解的存在唯一性条件可知证毕()()()()1122nnxtcxtcxtcxt使得)(~)(~)(~0022011tctctcnnxxx)(0tx§5.2GeneralTheoryofLinearODEs与具有相同的基本解组：(5.15)的n个线性无关解。推论1(5.15)线性无关解的最大个数等于n。解矩阵：由(5.15)n个解的列构成的矩阵。由(5.15)n个线性无关解的列构成的矩阵。基解矩阵：标准基矩阵：0)(dettE)(0定理5和定理6的另一种形式§5.2GeneralTheoryofLinearODEs定理1*(5.15)一定存在基解矩阵；若)(t是(5.15)任一解，则c)()(tt)()(detbtat0而且，如果对某一个,)(det],,[000tbat定理2*一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是btat,)(det0则)()()()(tctctctnnxxx2211§5.2GeneralTheoryofLinearODEs例1验证ttteteet0)(是方程组211011xxxxx其中,的基解矩阵。首先证明)(t是解矩阵。令)(t1表示)(t的第一列，)(t2表示)(t解的第二列§5.2GeneralTheoryofLinearODEs01tet)(00101110111tteet)(ttteteet)(2ttttteteeetet101110112)(这表示是方程组的解，因此)](),([)(ttt21是解矩阵。)(),(tt2102tet)(det又因为是基解矩阵。)(t，所以§5.2GeneralTheoryofLinearODEs必满足关系btattt)()()(XAX结论：)(tX是方程组(5.15))(tX的一解矩阵的充要条件是btatxAx)())(,),(),(()(ttttnxxxX21))(,),(),((tttnxxx21))(,,)(,)((ntttxAxAxA21),,,)((ntxxxA21)()(ttXA§5.2GeneralTheoryofLinearODEs令)()()(btattCC)()(tt)(t是解矩阵。btatt0Cdet)(det)(detC)()(tt即是(5.15)的基解矩阵。如果)(tnn常数矩阵，那么,C)(t也是(5.15)在区间bta推论1是(5.15)在区间bta上的基解矩阵，C非奇异上的基解矩阵。证明CA)()(tt)()(ttA证毕§5.2GeneralTheoryofLinearODEs如果)(),(tt在区间bta上是方程组(5.15)的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异nn常数矩阵C,使得在区间btaC)()(tt上推论2证明)(t基解矩阵，)(t1存在，令)()()(tttX1或)()()(tttX)()()(tttA)()()()(ttttXX)()()()()(tttttXXA)()()()(ttttXA0)()(ttX0)(tXCX)(tC)()(tt0001)()(detdetC证毕§5.2GeneralTheoryofLinearODEs如果)(t在区间bta上是某方程组的基解矩阵，那么，这个方程组为推论3btattxx)()(1btattt)()()(A证明设所求方程组为xAx)(t则故btattt)()()(1A§5.2GeneralTheoryofLinearODEs例已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为ttteteet2220)(，求该方程组。解tttteteeet2224101)()()()(ttt1Atttttttteteeeteeee2222222402022110120212tt2012所求方程组为xx2012§5.2GeneralTheoryofLinearODEs作业P.200,第2,4题。P.184,第2(c),3题。练习1已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为122tttt)(，求该方程组。§5.2GeneralTheoryofLinearODEs