关于非平行板电容器电容计算的讨论

关于非平行板电容器电容计算的讨论张忠厚，白静辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000）摘要：在可行性的前提下使用并联法计算非平行板电容器的电容，可容易得到与其他方法相同的结论。关键词：非平行板电容器；电容；并联文献[1]归纳了目前计算非平行板电容器的两种方法，并在计算方法上阐述了使用并联法存在的问题。本人认为，在满足平行板电容器的条件下推出一般规律，从中找出可以使用并联法的理由，避免矛盾，再使用并联法也未尝不可。下面介绍处理过程。设一平行板电容器是由长为a宽为b的两导体板构成，板间距为d，则电容为：dabCε=0。若该电容器沿两极板的长度同一方向（宽度方向亦可）有的长度增量，则电容为：xddxaCdxbaCd)d('0εε+=+=。在此基础上推广，如图1所示。该电容器认为是在的基础上，上极板沿与长度方向成0Cθ角度连续增加到，下极板沿长度方向连续增加到bθcosb构成。在考虑由于上极板长度增量偏离长度方向连续增加时，对应的两极板面积增量的间距也连续变化的实际情况，该电容器的电容为：∫++=θθεcos00tan'bldadlCCdbdaCθθεsinlntan0++=。该电容器的电容计算过程一直满足平行板电容器的应用条件，当把该电容器看成是由两个电容器并联时，完全有理由把非平行板电容器部分的处理方法即并联法合理化，即非平行板电容器的电容：)1(sinlntantandcos0ΛΛdbdaldlaCbθθεθεθ+=+=∫。使用并联法计算非平行板电容器的电容时，一定要讲清上述结论，这样就可避免与平行板电容器的使用条件相矛盾的问题。图1电容器的综合问题dθldlab上述结论：（1）当0→θ时，则（1）式为dabCε=，即为平行板电容器的电容。（2）当θ较小时，θθ≈tan，θθ≈sin，)1()sin1ln(sinlnθθθθdbdbdbdbd−≈+=+，则（1）式近似为)2()21(ΛΛdbdabCθε−≈。（2）式与文献[2~5]的结果也完全相同。显然在讲清为什么能使用并联法计算非平行板电容器电容的前提下，用并联法计算非平行板电容器的电容也很简-1-便。文献[1]的串联法只能解决该文献中的非平行板电容器的电容计算问题，具有很大的局限性。而上述的并联法不仅可以解决非平行板电容器的电容计算问题，对于上下极板规则变形的电容器的电容都能计算。如图2所示：一个平行板电容器，当上极板受外力作用按规律形变时，试计算该电容器的电容。2kxy=解：各物理量如图2所示，如图建立坐标系，按上述并联法，则该电容器的电容为：∫+=bkxdxaC02dεbdkkdaarctanε=。（1）当时，abdxyoxdx2kx图2电容器电容计算的一般问题0→kbdkkdalinCkarctan0ε→=dabε=，即为平行板电容器的电容。（2）当较小时，k])(311[arctan2bdkbdkbdk−≈，则：)31(2dkbdabC。−≈ε平行板电容器上下极板在外力作用下若都按规律形变，该题有如图3多种变形。按并联法，各种变形后的电容器的电容都能容易的计算出来。经计算：2kxy=图3图2例题变形bd（b）bd（a）bdbd（c）db（d）（e）db（f）图3（a）电容器的电容为：∫+=bkxdxaC022dεbdkkda2arctan2ε=；图3（b）电容器的电容为：∫−++=bxbkkxdxaC022)(dε22222arctan22bkkdkbbkkda++=ε图3（c）电容器的电容为：∫−=bkxdxaC02dεkdbkdbkda−+=ln2ε；图3（d）电容器的电容为：-2-∫−−−=bxbkkxdxaC022)(dεkbbkkdkbbkkdbkkda−−+−−=22222222ln2ε图3（e）电容器的电容为：∫−=bkxdxaC022dεkdbkdbkda22ln22−+=ε；图3（f）电容器的电容为：∫−+−=bxbkkxdxaC022)(dε22ln2kbdkbdkba−+=ε。上述结果均可按和较小的条件进行讨论。若两极板分别按不同规律形变，题型更多，问题更普遍。0→kk上述介绍的并联法，不仅能解决串联法能解决的问题，而且还能解决串联法和其他方法不能解决或解决困难的问题，在形变较小的条件下都能进行较理想的近似计算，是一类计算复杂电容器电容的普适公式。参考文献[1]葛松华.关于非平行板电容器电容计算的讨论[J].物理与工程.2003，5：16~17[2]张三慧.大学物理（第二版）习题解答[M].北京：清华大学出版社.,2000.257[3]赵凯华，陈熙谋.电磁学（上册）[M].北京:人民教育出版社，1978.132[4]游荣义.非平行矩形板电容器的电场和电容[J].大学物理.1993，12（2）:7~9[5]秦德培.非平行板电容器电场和电容的简化计算[J].大学物理.1995，14（1）:13~14CALCULATINGTHECAPACITANCEOFANON-PARALLELPLATECAPACITORZhangZhonghou，BaiJingDepartmentofPhysics,LiaoningTechnicalUniversity,Fuxin,Liaoning(12300)AbstractCalculatingthecapacitanceofthenon-parallelplatecapacitorinparallelingonthepremiseoffeasibility,wecanachievethesameconclusionwithothermethodseasily.Keywords:non-parallelplatecapacitor;capacitance;paralleling-3-