金融数学--第一章

第一章利息基本计算从现金流的角度来看，利息是推迟当前消费的补偿，或者是提前消费所付出的代价。学习要点一、单利与复利的基本计算二、贴现因子的意义三、现金流现值与终值的基本计算四、名利率的基本计算五、利息力的意义六、价值方程的应用（现金流分析）§1.1利息基本函数本金：投资的初始资本投入，记为A(0)。定义1.1总量函数：原始投资经过一定时间后投资价值称之为总量函数。总量函数用A(t)表示。定义1.2利息：货币的时间变化量。定义1.3累积函数：单位化的总量函数。记为a(t)。累积函数的性质：（1）a(0)=1;（2）A(t)=A(0)×a(t)。12,21()()ttIAtAt定义1.4利率：单位化的利息。结论1.11212,21,11()()()()ttttIAtAtiAtAt1221,1()()()ttatatiat()()()1(,0)()()()(,0)astasatstistisitst定义1.5单利：单位货币经过任何单位时间所产生的利息为常数，这样产生的利息称之为单利。以这种方式计息称为单利方式。投资所得的利息与投资期限成正比。结论1.2单利反方式下，累积函数呈线性地增长。即()1,atittZ()(1)(1)1(1)nananiianin()(1),tatitZ定义1.6复利：单位货币经过任何单位时间所产生计的利率为常数，这样的利息称为复利。以这种方式计息称为复利方式。结论1.3在复利反方式下，累积函数呈几何性增长。即()()()astasat单利与复利的区别：一般情况下，相同利率水平的复利利息高于单利利息。实际生活中，几乎用的都是复利计息。例1.1年利率为5%，比较单利与复利的计算结果。一笔诱人的遗产：假设在1793年以3.3%年复利投资了1元，这笔投资今天大约值多少钱？利率为6.6%呢？1000元，10000元，100000元，1000000元这是漫长时间积累的结果。对于单利来说，增长并不多。定义1.7贴现函数：将未来某时刻的单位资产价值折算到当前时刻的价值。贴现函数与累积函数互为倒数。定义1.8贴现率：利息收入与期末货币量的比值。对于以复利方式下的计息方式，若任何单位时间利率相同，这样产生的贴现率称为复贴现率。1212,21,22()()()()ttttIAtAtdAtAt1()(1)(1),anandnN()(1),nandnN贴现：将未来现金折算当前时刻价值的过程。定义1.9贴现因子：对将来价值进行贴现过程使用的因子，即一期单位本金的收益的倒数。考虑现金流（1，0），（0，1+i）定义1.10现值：投资过程中将所有现金流折算到期初的价值称之为现值。终值：投资过程中将所有现金流折算到期末的价值称之为终值。1(1)iv1(1)vi现金流的现值与终值的计算永恒的理想银行（1）对贷款和存款使用相同利率；（对正负现金流采用同一贴现因子）（2）无服务费和交易费用；（资金不发生损耗）（3）利率适用于任何规模的本金；（统一并简化计算）（4）单项交易的余额可加；（现金流比较的重要依据）（5）利率相对独立于适用的时间长度，由复利规则计息；（体现了预期效应）假设有现金流如下，其中r为每期利率现金流的现值：现金流的终值：现值与终值的关系：01(,,)nxxx2012/(1)/(1)/(1)nnPVxxrxrxr101(1)(1)nnnAVxrxrx/(1)nAVPVr考虑现金流（-2，1，1，1），一年为一期，利率10%现值PV=-2+1/1.1+1/（1.1×1.1）+1/（1.1×1.1×1.1）=0.487终值AV=-2×1.1×1.1×1.1+1×1.1×1.1+1×1.1+1=0.648现金流的等价现值的重要定理对于利率为r的永恒的理性银行来说，当且仅当以该银行利率来评估两个现金流现值相同时，这两个现金流等价。两个能够相互转化的现金流称为等价现金流。例如，（1，0）和（0，1+i）(-2，1，1，1)和（0.487，0，0，0）在利率为10%的条件下内部收益率内部收益率设为一现金流，内部收益率为满足下列方程的r：若令1/（1+r）=c，此时c满足多项式方程：这是一个多项式方程，解一般不唯一。01(,,)nxxx20120/(1)/(1)/(1)nnxxrxrxr20120nnxxcxcxc现金流（-2，1，1，1）的内部收益率解出c=0.81，因此IRR=（1/c）-1=0.23内部收益率与现行市场利率无关，完全有现金流本身决定，这就是其称为内部收益率的原因。有内部决定而与外部金融世界无关。最常见的投资是初始的一笔现金流为负，其余都是正的现金流，它的内部收益率为正。例如：（-2，1，1，1）2302ccc内部收益率的主要定理假设现金流中第一项为负，其余各项非负但至少有一项严格为正。那么下述方程有唯一正根：此外，如果，那么相应的内部收益率r=（1/c）-1为正。01(,,)nxxx20120nnxxcxcxc00nkkx证明构造函数注意到f(0)0,f（c）为增函数且连续。因此存在唯一正根。如果，意味着f(1)0,因此在0到1之间存在唯一正根。2012()nnfcxxcxcxc00nkkx定义1.11利率和贴现率被称为等价的，若他们满足：相同的原始本金经过相同的计息期，将产生相同的终值。等价现金流的一个特例。结论1.4在任一个计息期内，利率i与贴现率d有如下关系。证明（1）设期末货币量为1，有贴现率定义可知，期初货币量为1-d，有利率定义可得结论。（2）设期初货币量为1，则期末货币量为1+i，利息量为i，有贴现率定义可得结论。结论1.5在一个计息期内，利率i，贴现率d与贴现因子有如下关系：(1);(2)11diiddi(1);(2)1;(3)divdvidid证明利用前面结论即可。例1.2现有面额为100元的债券，在到期前1年的时刻价格为95元。同时，1年定期储蓄利率为5.25%。讨论如何进行投资选择。投资比较一般使用收益率来比较。收益率r为收益R与初始投资的比值，收益R为期末投资价值与期初投资价值之差。类似与定义中的利率。解债券收益率r=5/95=5.26%储蓄收益率r=5.25%债券的收益率高于储蓄，因此选择债券进行投资。定义1.12在单位计息期内利息依利率换算m次，则称为m换算名利率或者挂牌利率。结论1.6利率与换算名利率有如下关系：同样，可以对贴现率换算，有名贴现率的概念。结论1.7贴现率与换算名贴现率有如下关系：()()mimNm()mi()11mmiim()11ppddp结论1.8换算名利率与换算名贴现率有如下关系：证明注意1+i=(1-d)-1若m=p，有如下关系式：例1.3现有以下两种5年期投资方式：方式A：年利率为7%，每半年计息一次；方式B：年利率为7.05%，每年计息一次。比较两种投资方式的收益并确定投资选择。()()11mpmpidmp()()111mmdim解法1比较两种方式等价的年实利率。解法2比较两种方式的实际收益。考虑连续的利息换算，并定义利率的相对瞬间变化率。定义1.13设累积函数a（t）为t（t≥0）的连续可微函数，则称函数为累积函数a（t）对应的利息力函数，与之相对应的时刻称之为利息力。()(0)()tattat利息力函数表示了资本获利能力的大小。在单利方式下：在复利方式下：单利方式下，资本的实际收益随时间增长变慢，而复利方式下实际收益不变。（P6例1.1）()()1tatiatit()ln(1)()tatiat由定义可知，累积函数与利息力函数有如下关系：贴现函数与利息力函数关系为：同样可以定义对应的贴现力函数为：利息力与贴现力相同。()exp,0ttoatdst1()exp,0ttoatdst11[()],0()tattat结论1.9若利息力函数为常数，则（1）（2）利息力与利率的关系为:或（3）在相同单位计息期内，利息力，利率及贴现率的大小关系有：()tate1eiln(1)lnln(1)ivddi证明（3）显然di,且都大于0因为将上式左边利用泰勒展式在0点展开有：所以，比较得，同理，缩放有，则，即综合即得结论。1ei21(),(0,)2!!nneRn1ei2()()1()(),(0,)2!!nneRn1,1/(1)1eeivd11dd1yey及的图像结论1.10在相同单位计息期内，名利率、名贴现率与常数利息力有如下关系：（1）（2）（3）（4）()/(1)mmime()/(1)ppdpe()()limlimmpmpid()()pmddii证明（1）、（2）均可由前面结论得出；（3）对（1）、（2）求极限可得；（4）后半部分的证明因为由上两式可得结论。()()()()1111mmmmimmiiemieim结论1.11（1）（2）（3）210,01ddddediid110,01dddiidvv()1110mmdiidiln(1)lnln(1)ivd例1.4（基金套利）基金F和基金G的利息力函数分别如下：累积函数分别为：令求h（t）达到的最大时刻T。214(0),(0)112FtGtttttt(),()FGatat()()()FGhtatat解由题设条件有根据h（t）定义得h（t）=t-2t2由此求出T=0.25020()exp1()exp12tFFstGGsatdstatdst实际中如何操作？（1）0时刻两基金相同，期初，借入一份基金G并卖掉得1单位资金，用这1单位资金购买一份基金F；（2）期末时，卖掉基金F并购买一份基金G还给经纪公司，所得余额即为套利。卖空：卖出并不持有的资产。套利所需要的资金较少，仅需要卖空所交纳的保证金。§1.2利息基本计算利息是货币的时间价值，在一般的金融结算业务中利息会精确到天，并常用连续复利来替代以天为换算的利率的计算。例如，假设年利率为5%以天为换算的实利率为而连续复利的实利率为两者相对差距仅为7.8×10-53650.05115.1267%3650.0515.1271%e时间单位确定的三种方法（1）精确利息算法：实际投资天数/年实际天数（2）普通利息算法：30/360（3）银行家利息算法：实际投资天数/360银行家利息算法对贷款的一方较为有利。情况说明：（1）闰年的处理，可以选为366天，也可以选为365天；对普通利息算法没有影响；（2）起息日和到期日不能同时计入利息计算期，除非有特殊的说明；（3）并不是所有金融结算都需要计算天数，视具体情况而定。货币具有时间价值，对于不同的货币量进行比较时，就要选取一个共同的日期，这个日期就称之为比较日。将调整到比较日的计算结果按照收入支出相等的原则列出的等式称为价值方程。从现值的角度来看，以利率作为内部收益率进行贴现。时间流程图可以看做是简化的现金流图。注意：复利与单利的贴现会有不同。例1.5某资金账户现金流如下：在第1年除有100元资金支出，在第5年末有200元资金支出，在第10年末有最后一笔资金支出；最为回报，在第8年末有资金收回600元。假定半年换算名利率为8%，试用价值方程计算第10年末的支出金额大小。（分别考虑复利方式和单利方式）解（1）采用复利方式计算①现金流分析法这个现金流可以表示为：（-100，0，0，0，0，-200，0，0，600，0