金融数学--第三章

第三章投资收益分析收益为投资活动所取得的收入，表示的是投资价值的变化量。衡量收益大小的方法就称之为投资收益分析。学习要点一、现金流的净现值分析二、内部收益率的计算三、净现值与内部收益率的关系四、资本预算的实际应用§3.1基本投资分析1贴现现金流分析将所有时刻的现金流入和流出按照时间顺序排列，计算其现值。这样的现值称为净现值。例3.1考虑一个10年的投资项目：第1年初投入10000元，第2年初投入5000元，然后每年初只需1000元维护费，从第6年底开始收益，最初8000元，然后每年增加1000元。分析该项目的投资价值。解这个投资项目的现金流为（-1，-0.5，-0.1，-0.1，-0.1，-0.1，0.7，0.8，09，1，1.2）同样可以将收益和支出列出两个现金流，然后求和。这个现金流的净现值为NPV=（-1-0.5v-0.1v2-0.1v3-0.1v4-0.1v5+0.7v6+0.8v7+0.9v8+v9+1.2v10）2内部收益率设为一现金流，内部收益率为满足下列方程的r：若令1/（1+r）=c，此时c满足多项式方程：这是一个多项式方程，解一般不唯一。01(,,)nxxx20120/(1)/(1)/(1)nnxxrxrxr20120nnxxcxcxc现金流（-2，1，1，1）的内部收益率解出c=0.81，因此IRR=（1/c）-1=0.23内部收益率与现行市场利率无关，完全有现金流本身决定，这就是其称为内部收益率的原因。有内部决定而与外部金融世界无关。最常见的投资是初始的一笔现金流为负，其余都是正的现金流，它的内部收益率为正。例如：（-2，1，1，1）2302ccc内部收益率的主要定理假设现金流中第一项为负，其余各项非负但至少有一项严格为正。那么下述方程有唯一正根：此外，如果，那么相应的内部收益率r=（1/c）-1为正。01(,,)nxxx20120nnxxcxcxc00nkkx证明构造函数注意到f(0)0,f（c）为增函数且连续。因此存在唯一正根。如果，意味着f(1)0,因此在0到1之间存在唯一正根。2012()nnfcxxcxcxc00nkkx例3.2讨论例3.1的内部收益率。解0=（-1-0.5v-0.1v2-0.1v3-0.1v4-0.1v5+0.7v6+0.8v7+0.9v8+v9+1.2v10）解得i=12.96%例3.3现有两种投资项目：（A）期限5年，每年收益率9%；（B）期限10年，每年收益率为8%。为了使两种投资资产的总收益无差异，如果选择项目（A），5年后的再投资年利率至少为多少？（p251.14）解设5年后的年利率为i，有（1+0.09）5+（1+i）5=（1+0.08）10解得i=7.01%3未结价值分析实际上也是一种现金流分析方法，不一定计算的是现值。§3.2净现值分析和内部收益率的区别和关系例（何时伐木）假设你有机会可以植树，并且可以卖出木材。这个项目需要初始购买树苗，直到砍伐树木时才发生了第二笔现金流。如果1年后砍伐，你会迅速得到回报；如果2年后砍伐，树木长的更粗壮，销售收入更多。假设两种投资的现金流为（A）（-1，2）早点砍伐（B）（-1，0，3）晚点砍伐问题：假设市场利率10%，选择哪种投资方式？净现值分析法（A）NPV=-1+2/1.1=0.82（B）NPV=-1+3/（1.1×1.1）=1.48根据净现值分析法，最好晚点砍伐。内部收益率（A）-1+2v=0，i=1（B）-1+3v2=0，i=0.7根据内部收益率，最好早点砍伐。问题：为什么会有不同的结论？应该选择哪种投资方式？净现值的特点：容易计算，没有内部收益率方程计算的不确定性，现金流可以分解为几个不同部分。内部收益率的特点：仅仅依赖于现金流本身，不依赖于市场利率。内部收益率方程计算具有一定的复杂性。（A）计划中，初始投资1，期末资本翻倍为2，这项经营每年都在翻倍；（B）计划中，初始投资1，2年后期末资本为3，这项经营每2年增至原来的3倍；每年增长30.5倍。如果对一个多期投资而言，为了得到更大的资本增长，内部收益率是可行的。如果仅仅是一期投资，为了得到更多的期末价值，净现值是可行的。实际中一般应用净现值作为投资分析的主要依据，具有直观性，这两种方法一直以来都具有一定的争论。习题1（比较优势）现有两个项目的现金流如下比较两项目的净现值和内部收益率。11112222(,,,)(,,,)ABBBABBB，，1122,,ABAB，都为正且两现金流长度相同1122//BABA假设习题2（相交）现有两个项目的现金流如下0101(,,,)(,,,)nnxxxyyy0000,(),()nnkkkkxyxyxyPvPvv如果且假设表示贴现因子为时的两项目的现值0()()0.xyPvPvv证明存在一个交点§3.3资本预算资本预算是个人或者企业对投资的一种决策。这里涉及到项目的选择，收益的估计。主要应用的数学工具是现金流分析及线性规划理论。例3.14某投资项目需要当前投入100元，第2年底投入132元，则在第1年底收回230元。讨论这个项目的资本预算分析。解净现值为P（i）=-100+230v-132v2在不同利率下计算的净现值如下投入大回收。利率i%05101525净现值-2-0.6800.19-0.48多个独立项目的投资预算的选择假设现有m个项目。令bi为第i个项目的总收益（净现值），令ci表示初始成本，令C为总资本预算。对每个i=1，2，…，m，引入0-1变量xi，拒绝时为0接受为1。这个问题变为方程11max..,01,1,2,,miiimiiiibxstcxCxim或这是一个0-1规划。采用收益-成本比率来选择投资项目，将所以项目的收益-成本比率按照从高到底的顺序排列，在总资本预算的限制下，选择收益-成本比率高的投资项目。这样所得到的这个方程的解为局部最优解，不一定会达到全局最优。例有一家公司提出了几项相互独立的投资项目，该公司为这些项目所能提供的资金为50万元，这些项目的情况如下，如何选择投资项目。项目费用（万元）收入（万元）收益-成本比率1103032232.5315352.3345112.255102615251.67715201.33选择前5个投资项目，总的初始投资为37万元，收入为89-37=52万元。这个是最好的选择吗？选择1、3、4、5、6这5个项目，总的初始投资为50万元，收入为111-50=61万元。这样才达到了最优解。