第八章-空间解析几何与向量代数知识点-题库与答案

江西科技学院公教部方玲玲编撰1第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1、重点①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点①向量积（方向）、混合积（计算）；②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形；③空间曲线在坐标面上的投影；④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）⑤平面方程的几种表示方式之间的转化；⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量及其线性运算①向量的基本概念：向量既有大小又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.；向量的符号以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a、r、v、F或a、r、v、F；向量的模向量的大小叫做向量的模向量a、a、AB的模分别记为|a|、||a、||AB单位向量模等于1的向量叫做单位向量；向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a与b平行记作a//b零向量认为是与任何向量都平行；两向量平行又称两向量共线零向量模等于0的向量叫做零向量记作0或0零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k(k3)个向量当把它们的起点放在同一点时如果k个终点和公共起点在一个平面上就称这k个向量共面；两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹江西科技学院公教部方玲玲编撰2角称为向量a与b的夹角记作^),(ba或^),(ab如果向量a与b中有一个是零向量规定它们的夹角可以在0与之间任意取值；②向量的线性运算向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a与b平移向量使b的起点与a的终点重合此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和记作a+b即ca+b.平行四边形法则向量a与b不平行时平移向量使a与b的起点重合以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和ab向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(ab)ca(bc)负向量设a为一向量与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量记为a向量的减法把向量a与b移到同一起点O则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差ba向量与数的乘法：向量a与实数的乘积记作规定a是一个向量它的模|a||||a|它的方向当0时与a相同当0时与a相反当0时|a|0即a为零向量这时它的方向可以是任意的运算规律(1)结合律(a)(a)()a；(2)分配律()aaa；(ab)ab向量的单位化设a0则向量||aa是与a同方向的单位向量记为ea，于是a|a|ea定理1设向量a0那么向量b平行于a的充分必要条件是存在唯一的实数使ba③空间直角坐标系在空间中任意取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为Oxyz坐标系注:(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2)通常把x轴和y轴配置在水平面上而z轴则是铅垂线(3)数轴的的正向通常符合右手规则坐标面在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面另两个坐标面是yOz面和zOx面卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy面的上方在xOy面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限在xOy面的下方与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示向量的坐标分解式任给向量r对应有点M使rOM以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有OROQOPNMPNOPOMr江西科技学院公教部方玲玲编撰3设ixOPjyOQkzOR则kjirzyxOM上式称为向量r的坐标分解式xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系),,(zyxzyxOMMkjir有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标记作r(xyz)向量OMr称为点M关于原点O的向径④利用坐标作向量的线性运算设a(axayaz)b(bxbybz)ab(axbxaybyazbz)ab(axbxaybyazbz)a(axayaz)利用向量的坐标判断两个向量的平行设a(axayaz)0b(bxbybz)向量b//aba即b//a(bxbybz)(axayaz)于是zzyyxxababab⑤向量的模、方向角、投影设向量r(xyz)作rOM则向量的模长公式222||zyxr设有点A(x1y1z1)、B(x2y2z2)OAOBAB(x2y2z2)(x1y1z1)(x2x1y2y1z2z1)A、B两点间的距离公式为：212212212)()()(||||zzyyxxABAB方向角：非零向量r与三条坐标轴的夹角、、称为向量r的方向角设r(xyz)则x|r|cosy|r|cosz|r|coscos、cos、cos称为向量r的方向余弦||cosrx||cosry||cosrz从而rerr||1)cos,cos,(coscos2cos2cos21投影的性质性质1(a)u|a|cos(即Prjua|a|cos)其中为向量与u轴的夹角性质2(ab)u(a)u(b)u(即Prju(ab)PrjuaPrjub)性质3(a)u(a)u(即Prju(a)Prjua)江西科技学院公教部方玲玲编撰42、数量积、向量积、混合积①两向量的数量积数量积对于两个向量a和b它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积记作ab即a·b|a||b|cos数量积的性质(1)a·a|a|2(2)对于两个非零向量a、b如果a·b0则ab;反之如果ab则a·b0如果认为零向量与任何向量都垂直则aba·b0两向量夹角的余弦的坐标表示设(a^b)则当a0、b0时有222222||||coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa数量积的坐标表示设a(axayaz)b(bxbybz)则a·baxbxaybyazbz数量积的运算律(1)交换律a·bb·a;(2)分配律(ab)cacbc(3)(a)·ba·(b)(a·b)(a)·(b)(a·b)、为数②两向量的向量积向量积设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出c的模|c||a||b|sin其中为a与b间的夹角;c的方向垂直于a与b所决定的平面c的指向按右手规则从a转向b来确定那么向量c叫做向量a与b的向量积记作ab即cab向量积的性质(1)aa0(2)对于两个非零向量a、b如果ab0则a//b反之如果a//b则ab0如果认为零向量与任何向量都平行则a//bab0数量积的运算律(1)交换律abba(2)分配律(ab)cacbc(3)(a)ba(b)(ab)(为数)数量积的坐标表示设a(axayaz)b(bxbybz)ab(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k为了邦助记忆利用三阶行列式符号上式可写成zyxzyxbbbaaakjibaaybziazbxjaxbykaybxkaxbzjazbyi江西科技学院公教部方玲玲编撰5(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k③三向量的混合积混合积：先作两向量a和b的向量积ba,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积cba)(，这样得到的数量叫做三个向量a、b、c的混合积，记作[abc][abc]=cba)(=zyxzyxcccbbbzyxaaa混合积的几何意义：混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积，如果向量a、b、c组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a、b、c组成左手系，那么混合积的符号是负的。三个向量a、b、c共面的充分必要条件事他们的混合积[abc]=0即zyxzyxcccbbbzyxaaa=03、曲面及其方程①曲面方程的概念如果曲面S与三元方程F(xyz)0有下述关系(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(xyz)0(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(xyz)0那么方程F(xyz)0就叫做曲面S的方程而曲面S就叫做方程F(xyz)0的图形例如：方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2表示球心在点M0(x0y0z0)、半径为R的球面②旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在yOz坐标面上有一已知曲线C它的方程为f(yz)0把这曲线绕z轴旋转一周就得到一个以z轴为轴的旋转曲面它的方程为0),(22zyxf这就是所求旋转曲面的方程在曲线C的方程f(yz)0中将y改成22yx便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程0),(22zyxf同理曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为0),(22zxyf③柱面江西科技学院公教部方玲玲编撰6柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线例如方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面它的母线平行于z轴它的准线是xOy面上的圆x2y2R2一般地只含x、y而缺z的方程F(xy)0在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面其准线是xOy面上的曲线CF(xy)0类似地只含x、z而缺y的方程G(xz)0和只含y、z而缺x的方程H(yz)0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面④二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面把平面叫做一次曲面(1)椭圆锥面由方程22222zbyax所表示的曲面称为椭圆锥面(2)椭球面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为椭球面