矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案解析

...参考学习习题1解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。1xatybtcos,sin2xtytzt3sin,4sin,3cos解：1ratibtjcossin，其图形是xOy平面上之椭圆。2rtitjtk3sin4sin3cos，其图形是平面430xy与圆柱面2223xz之交线，为一椭圆。2．设有定圆O与动圆c，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M所描曲线的矢量方程。解：设M点的矢径为OMrxiyj，AOC，CM与x轴的夹角为2；因OMOCCM有rxiyjaiajaiaj2cos2sincos2sin2则.2sinsin2,2coscos2aayaax故jaaiaar)2sinsin2()2coscos2(4．求曲线3232,,tztytx的一个切向单位矢量。解：曲线的矢量方程为ktjttir3232则其切向矢量为kttjidtdr222模为24221441||tttdtdr于是切向单位矢量为222122||/tkttjidtdrdtdr6．求曲线xatyatzat2sin,sin2,cos,在t4处的一个切向矢量。解：曲线矢量方程为ratiatjatk2sinsin2cos2切向矢量为ratiatjatktdsin22cos2sind在t4处，traiakt4d2d27.求曲线ttztytx62,34,122在对应于2t的点M处的切线方程和法平面方程。解：由题意得),4,5,5(M曲线矢量方程为,)62()34()1(22kttjtitr在2t的点M处，切向矢量kjiktjtidtdrtt244])64(42[22于是切线方程为142525,244545zyxzyx即于是法平面方程为0)4()5(2)5(2zyx，即01622zyx8．求曲线rtitjtk23上的这样的点，使该点的切线平行于平面xyz24。解：曲线切向矢量为dritjtkdt223，⑴平面的法矢量为nijk2，由题知itjtknikttj221432230得t11,3。将此依次代入⑴式，得kjikjitt2719131|,|311故所求点为1111,11,,,3927习题2解答1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。1uAxByCzD1;32zuarcxy22sin解：1场所在的空间区域是除AxByCzD0外的空间。等值面为01111CDCzByAxCDCzByAx或为任意常数）（01C，这是与平面AxByCzD0平行的空间。2场所在的空间区域是除原点以外的zxy222的点所组成的空间部分。等值面为)0(,sin)(222222yxcyxz，当csin0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）；当csin0时，是除原点外的xOy平面。2．求数量场xyuz22经过点M1,1,2的等值面方程。解：经过点M1,1,2等值面方程为xyuz22221112，即zxy22，是除去原点的旋转抛物面。3．已知数量场uxy，求场中与直线xy240相切的等值线方程。解：设切点为xy00,，等值面方程为xycxy00，因相切，则斜率为2100xyk，即002yx点xy00,在所给直线上，有xy00240解之得yx001,2故2xy4．求矢量222Axyixyjzyk的矢量线方程。4解矢量线满足的微分方程为Adr0，或dxdydzxyxyzy222有.,zdzxdxydyxdx解之得),(,212122为任意常数CCxCzCyx5.求矢量场zkyxjyixA)(22通过点M)1,1,2(的矢量线方程。解矢量线满足的微分方程为.)(22zyxdzydyxdx由12211Cyxydyxdx得，按等比定理有,)()(22zyxdzyxyxd即.)(zdzyxyxd解得.2zCyx故矢量线方程为zCyxCyx21,11又)1,1,2(M求得1,2121CC故所求矢量线方程为.2111zyxyx习题3解答1．求数量场2322uxzyz在点2,0,1M处沿lxixyjzk2423的方向导数。解：因MMlxixyjzkik242343，其方向余弦为.53cos,0cos,54cos在点)1,0,2(M处有,1223,04,422223yzxzuyzyuxzxu所以4125300)4(54lu52．求数量场223uxzxyz在点1,1,1M处沿曲线23,,xtytzt朝t增大一方的方向导数。解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M所对应的参数为1t,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为33,22,1121tMtMMtdtdztdtdydtdx，其方向余弦为.143cos,142cos,141cos又5)23(,1,7)6(2MMMMMMzxzuxyuyxzxu。于是所求方向导数为14241435142)1(1417)coscoscos(MMzuyuxulu3．求数量场23uxyz在点2,1,1M处沿哪个方向的方向导数最大？解：因uulul0gradgradcos，当0时，方向导数最大。,1244)32()(ugrad22323kjikyzxjzxixyzkzujyuixuMMM即函数u沿梯度kjiM1244ugrad方向的方向导数最大最大值为114176ugradM。4.画出平面场)(2122yxu中2,23,1,21,0u的等值线，并画出场在)2,2(1M与点)7,3(2M处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。6解：所述等值线的方程为：,4,3,2,1,02222222222yxyxyxyxyx其中第一个又可以写为0,0yxyx为二直线，其余的都是以Ox轴为实轴的等轴双曲线（如下图,图中,ugrad11MG,ugrad22MG）由于,uyjxigrad故,22ugrad1jiM,73ugrad2jiM由图可见，其图形都符合所论之事实。5．用以下二法求数量场uxyyzzx在点1,2,3P处沿其矢径方向的方向导数。1直接应用方向导数公式；2作为梯度在该方向上的投影。解：1点P的矢径,32kjir其模.14r其方向余弦为.143cos,142cos,141cos又3)(,4)(,5)(PPPPPPyxzuzxyuzyxu所以。1422143314241415)coscoscos(PPzuyuxulu2,345)(ugradkjikzujyuixuPP7.1431421410kjirrr故。1422143314241415ugrad0rluPP6，求数量场zyxxyzyxu62332222在点)0,0,0(O与点)1,1,1(A处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0？解：,)66()24(32ukzjxyiyxgrad）（,036ugrad,623ugradkjikjiAO其模依次为：53036,7)6()2(3222222于是Ougrad的方向余弦为.76cos,72cos,73cosAugrad的方向余弦为.0cos,51cos,52cos求使0ugrad之点，即求坐标满足066,024,032zxyyx之点，由此解得1,1,2zyx故所求之点为).1,1,2(7．通过梯度求曲面422xzyx上一点)3,2,1(M处的法线方程。解：所给曲面可视为数量场xzyxu22的一张等值面，因此，场u在点M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即,222)22(ugrad2kjixkjxizxyMM故所求的法线方程为.231221zyx8．求数量场22352uxyz在点1,1,3M处等值面朝Oz轴正向一方的法线方向导数un。8解：因uuuuijkxiyjkxyzgrad6102uijkMgrad6102梯度与z夹角为钝角，所以沿等值面朝Oz轴正向一方的法线方向导数为uungrad235习题41.设S为上半球面),0(2222zazyx求矢量场zkyjxir向上穿过S的通量。【提示：注意S的法矢量n与r同指向】解：.2232aaadSadSrdSrdSrSSSnS2.设S为曲面),0(2222hzazyx求流速场kzyxv)(在单位时间内下侧穿S的流量Q。解：,)()(22DSdxdyyxyxdxdyzyxQ其中D为S在xOy面上的投影区域：.22hyx用极坐标计算，有DrdrdrrrQ)sincos(220223032220.21]43)sin[(cos)sincos(hdhhdrrrrdh3.设S是锥面22yxz在平面4z的下方部分，求矢量场zkyzjxziA34向下穿出S的通量。解：略4.求下面矢量场A的散度。（1）;)()()(323kxyzjxzyiyzxA（2）;)2()3()32(kxyjzxiyzA9（3）.)cos()sin1(jyyxixyA解：（1）22323Adivzyx（2）0Adiv（3）1sincosAdivyxxy5.求Adiv在给定点处的值：（1）处；在点)1,0,1(MA333kzjyix（2）处；在点)3,1,1(M24A2kzxyjxi（3）处；在点)2,3,1(M)(Azkyjxirxyzr解：（1）6)333(Adiv222MMzyx（2）8)224(AdivMMzx（3）r(xyz)rxyzdivAdivgrad)()(3zkyjxixykxzjyzixyzxyz6，故366AdivMMxyz。6.已知,2,232yzkxzjixAzxyu求(uA)div。解：Adivyx22kzxyjxyzizyugrad2233232故(uA)divAugradAudiv)2)(32()22(22233232yzkxzjixkzxyjxyzizyyxzxy33423223323226222zxyyzxzyxzyxzyx.28342332322yzxzyxzyx7．求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量：（1）;,2222333azyxSk