含参一元二次不等式专项训练

含参一元二次不等式专题训练解答题（共12小题）1．已知不等式（ax﹣1）（x+1）＜0（a∈R）．2．解关于x的不等式：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．（1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围；（2）当a≠0时，解这个关于x的不等式．3．解关于x的不等式ax2+2x﹣1＜0（a＞0）．4．解关于x的不等式，（a∈R）：（1）ax2﹣2（a+1）x+4＞0；（2）x2﹣2ax+2≤0．5．求x的取值范围：（x+2）（x﹣a）＞0．6．当a＞﹣1时，解不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0．7．解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣2）＞0．8．解关于x的不等式，其中a≠0．9．解不等式：mx2+（m﹣2）x﹣2＜0．10．解下列不等式：（1）ax2+2ax+4≤0；（2）（a﹣2）x2﹣（4a﹣3）x+（4a+2）≥0．11．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．12．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）．含参一元二次不等式专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．（2009•如皋市模拟）已知不等式（ax﹣1）（x+1）＜0（a∈R）．（1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围；（2）当a≠0时，解这个关于x的不等式．考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：计算题；综合题；分类讨论；转化思想．分析：（1）若x=a时不等式成立，不等式转化为关于a的不等式，直接求a的取值范围；（2）当a≠0时，当a＞0、﹣1＜a＜0、a＜﹣1三种情况下，比较的大小关系即可解这个关于x的不等式．解答：解：（1）由x=a时不等式成立，即（a2﹣1）（a+1）＜0，所以（a+1）2（a﹣1）＜0，所以a＜1且a≠﹣1．所以a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．（6分）（2）当a＞0时，，所以不等式的解：；当﹣1＜a＜0时，，所以不等式（ax﹣1）（x+1）＜0的解：或x＜﹣1；当a＜﹣1时，，所以不等式的解：x＜﹣1或．当a=﹣1时，不等式的解：x＜﹣1或x＞﹣1综上：当a＞0时，所以不等式的解：；当﹣1＜a＜0时，所以不等式的解：或x＞﹣1；当a≤﹣1时，所以不等式的解：x＜﹣1或．（15分）点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．2．解关于x的不等式：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．可化为（x+a）（x+1）＞0．对a与1的大小分类讨论即可得出．解答：解：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）可化为（x+a）（x+1）＞0．当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜﹣a}；当a＜1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜﹣1}；当a=1时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论的方法，属于基础题．3．解关于x的不等式ax2+2x﹣1＜0（a＞0）．考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：由a＞0，得△＞0，求出对应方程ax2+2x﹣1=0的两根，即可写出不等式的解集．解答：解：∵a＞0，∴△=4+4a＞0，且方程ax2+2x﹣1=0的两根为x1=，x2=，且x1＜x2；∴不等式的解集为{x|＜x＜}．点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应按照解一元二次不等式的步骤进行解答即可，是基础题．4．解关于x的不等式，（a∈R）：（1）ax2﹣2（a+1）x+4＞0；（2）x2﹣2ax+2≤0．考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论：a=0，a＜0两种情况易解；a＞0时，由对应方程的两根大小关系再分三种情况讨论即可；（2）按照△=4a2﹣8的符号分三种情况讨论即可解得；解答：解：（1）ax2﹣2（a+1）x+4＞0可化为（ax﹣2）（x﹣2）＞0，（i）当a=0时，不等式可化为x﹣2＜0，不等式的解集为{x|x＜2}；（ii）当a＞0时，不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＞0，①若，即0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞}；②若=2，即a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；③若，即a＞1时，不等式的解集为{x|x＜或x＞2}．（iii）当a＜0时，不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＜0，不等式的解集为{x|＜x＜2}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x＜2}；0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞}；a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；a＞1时，不等式的解集为{x|x＜或x＞2}；a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜2}．（2）x2﹣2ax+2≤0，△=4a2﹣8，①当△＜0，即﹣a时，不等式的解集为∅；②当△=0，即a=时，不等式的解集为{x|x=a}；③当△＞0，即a＜﹣或a＞时，不等式的解集为[x|a﹣≤x≤a}．综上，﹣a时，不等式的解集为∅；a=时，不等式的解集为{x|x=a}；a＜﹣或a＞时，不等式的解集为[x|a﹣≤x≤a}．点评：该题考查含参数的一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，若二次系数为参数，要按照二次系数的符号讨论；若△符号不确定，要按△符号讨论；若△＞0，要按照两根大小讨论．属中档题．5．求x的取值范围：（x+2）（x﹣a）＞0．考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：通过对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．解答：解：①当a=﹣2时，不等式（x+2）（x﹣a）＞0化为（x+2）2＞0，解得x≠﹣2，其解集为{x|x∈R，且x≠1}．②当a＞﹣2时，由不等式（x+2）（x﹣a）＞0，解得x＜﹣2或x＞a，其解集为{x|x＜﹣2或x＞a}．③当a＜﹣2时，由不等式（x+2）（x﹣a）＞0，解得x＜a或x＞﹣2，其解集为{x|x＜a或x＞﹣2}．综上可得：①当a=﹣2时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}．②当a＞﹣2时，原不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞a}．③当a＜﹣2时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞﹣2}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法和分类讨论的方法，属于基础题．6．当a＞﹣1时，解不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0．考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：分类讨论；不等式的解法及应用．分析：把不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0化为（x+a）[x﹣（2a+1）]≥0，讨论a的取值，写出对应不等式的解集．解答：解：不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0可化为（x+a）[x﹣（2a+1）]≥0，∵a＞﹣1，∴﹣a＜1，2a+1＞﹣1；当﹣a=2a+1，即a=﹣时，不等式的解集是R；当﹣a＞2a+1，即﹣1＜a＜﹣时，不等式的解集是{x|x≤2a+1，或x≥﹣a}；当﹣a＜2a+1，即a＞﹣时，不等式的解集是{x|x≤﹣a，或x≥2a+1}．∴a=﹣时，不等式的解集是R；﹣1＜a＜﹣时，不等式的解集是{x|x≤2a+1，或x≥﹣a}；a＞﹣时，不等式的解集是{x|x≤﹣a，或x≥2a+1}．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应在适当地时候，对字母系数进行讨论，是基础题．7．解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣2）＞0．考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：通过对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出解集．解答：解：①当a=0时，不等式（x﹣1）（ax﹣2）＞0化为﹣2（x﹣1）＞0，即x﹣1＜0，解得x＜1，因此解集为{x|x＜1}．②当a＞0时，原不等式化为．当a＞2时，则，∴不等式（x﹣1）（x﹣）＞0的解集是{x|x＞1或x}．当a=2时，=1，∴不等式化为（x﹣1）2＞0的解集是{x|x≠1}．当0＜a＜2时，则，∴不等式（x﹣1）（x﹣）＞0的解集是{x|x＜1或x}．③当a＜0时，原不等式化为，则，∴不等式（x﹣1）（x﹣）＜0的解集是{x|x＜1}．综上可知：：①当a=0时，不等式的解集为{x|x＜1}．②当a＞0时，不等式的解集是{x|x＞1或x}．当a=2时，不等式的解集是{x|x≠1}．当0＜a＜2时，不等式的解集是{x|x＜1或x}．③当a＜0时，不等式的解集是{x|x＜1}．点评：本题考查了分类讨论方法、一元二次不等式的解法，属于中档题．8．解关于x的不等式，其中a≠0．考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：方程，其中a≠0两根为1，，对两根大小分类讨论求解．解答：解：当a＜0时，，不等式的解集为…（3分）当0＜a＜1时，，不等式的解集为…（6分）当a=1时，，不等式的解集为ϕ…（9分）当a＞1时，，不等式的解集为…（11分）综上所述：当a＜0时，或a＞1，原不等式的解集为当0＜a＜1时，原不等式的解集为当a=1时，原不等式的解集为ϕ…（12分）点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中主要考查了分类讨论的思想在解题中的应用．9．解不等式：mx2+（m﹣2）x﹣2＜0．考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：分类讨论；不等式的解法及应用．分析：把不等式等价变形为（x+1）（mx﹣2）＜0，讨论m的取值，从而求出不等式的解集．解答：解：原不等式可化为（x+1）（mx﹣2）＜0，当m=0时，不等式为﹣2（x+1）＜0，此时解得x＞﹣1．当m≠0，则不等式等价为m（x+1）（x﹣）＜0．若m＞0，则不等式等价为（x+1）（x﹣）＜0，对应方程的两个根为﹣1，，此时不等式的解为﹣1＜x＜．若m＜0．则不等式等价为（x+1）（x﹣）＞0，对应方程的两个根为﹣1，．若﹣1=，解得m=﹣2，此时不等式为（x+1）2＞0，此时x≠﹣1．若﹣2＜m＜0时，＜﹣1，此时不等式的解为x＞﹣1或x＜．若m＜﹣2时，＞﹣1，此时不等式的解为x＜﹣1或x＞．综上：m＞0时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}，m=0时，不等式的解集为{x|x＞﹣1}；m=﹣2，不等式的解集为{x|x≠﹣1}；﹣2＜m＜0，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜}；m＜﹣2，不等式的解集为{m|x＜﹣1或x＞}．点评：本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法问题，解题时应对参数进行分类讨论，是易错题．10．解下列不等式：（1）ax2+2ax+4≤0；（2）（a﹣2）x2﹣（4a﹣3）x+（4a+2）≥0．考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：（1）通过对a和△分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可解出；（2）通过对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．解答：解：（1）①当a=0时，原不等式可化为4≤0，不成立，应舍去．②当a≠0时，△=4a2﹣16a．当a=4时，△=0，原不等式可化为（x+1）2≤0，解得x=﹣1，此时原不等式的解集为{﹣1}；当△＜0时，解得0＜a＜4．此时原不等式的解集为∅．当△＞0时，解得a＞4或a＜0．由ax2+2ax+4=0，解得=，当a＞4时，原不等式的解集为{x|}；当a＜0时，原不等式的解集为{x|x≥或}．综上可得：当a=4时，不等式的解集为{﹣1}；当△＜0时，不等式的解集为∅．当△＞0时，当a＞4时，不等式的解集为{x|}；当a＜0时，不等式的解集为{x|x≥或}．（2）①当a=2时，原不等式化为﹣5x+10≥0，解得x≤2，此时不等式的解集为{x|x≤2}；②当a≠2时，△=25．此时不等式化为[（a﹣2）x﹣（2a+1）]（x﹣2）≥0，当a＞2时，化为，此时，因此不等式的解集为{x|x≥或x≤2}；当a＜2时，，此时不等式化为，不等式的解集为{x|}．综上可得：①当a=2时，不等式的解集为{x|x≤2}；②当a＞2时，不等式的解集为{x|x≥或x≤2}；当a＜2时，不等式的解集为{x|}．点评：本题考查了分类讨论、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于难题．11．