用链式图理解隐函数存在定理-精选资料

用链式图理解隐函数存在定理函数分为显函数和隐函数，例如：y=cosx+2x+3，像这种把因变量放在等号的一端，而把自变量和常数放在等号的另一端的函数关系式，就称为显函数.例如：x+y-1=0，像这种把因变量和自变量全放在等号的一端，而另一端为常数的函数关系式，就称为隐函数.我们在对隐函数求导时，常常把隐函数化为显函数之后再求导，但在实际问题中，将隐函数化为显函数是有困难的，甚至是不可能的.因此我们将介绍一种方法，不管隐函数能否化为显函数，都可以直接由方程求出它所确定的隐函数的导数.在对多元复合函数求导时，常常用链式图表示出多元复合函数的函数关系，即可轻松求出所需的导数，同样也可以将隐函数看成是多元复合函数，利用链式图更轻松地理解隐函数的求导公式.隐函数存在定理1：设函数F（x，y）在点P（x，y）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（x，y）=0，F（x，y）≠0，则方程F（x，y）=0在点（x，y）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f（x），它满足条件y=f（x），并且有=-.在此定理中，由于方程F（x，y）=0所确定的函数为y=f（x），因此可用链式图表示出F（x，y）的函数关系，即：从此图可知，在函数F（x，y）中，含有两个变量x，y，需求偏导，而在y=f（x）中，只含有一个变量x，需求全导.因此将方程的两边同时对x求导得F+F=0，因为F连续，且F（x，y）≠0，所以存在（x，y）的一个邻域，在这个域邻内F≠0，从而有=-.例1：设siny+e-xy=0，求.解：设F（x，y）=siny+e-xy，则F=e-y，F=cosy-2xy，从而当F≠0时，=-=.隐函数存在定理可以推广到多元函数的情形，一个二元方程F（x，y）=0可以确定一个一元隐函数y=f（x），那么一个三元方程F（x，y，z）=0就可以确定一个二元隐函数z=f（x，y），从而有如下定理：隐函数存在定理2：设函数F（x，y，z）在点P（x，y，z）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（x，y，z）=0，F（x，y，z）≠0，则方程F（x，y，z）=0在点（x，y，z）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f（x，y），它满足条件z=f（x，y），并且有=-，=-.在此定理中，由于方程F（x，y，z）=0所确定的函数为z=f（x，y），故可用链式图表示出F（x，y，z）的函数关系，即：由此图可知，在函数F（x，y，z）中含有三个变量x，y，z，需求偏导，在z=f（x，y）中也含有两个变量x，y，同样求偏导，因此将方程F（x，y，z）=0的两边同时对x求导得：F+F=0，F+F=0，因为F连续，且F（x，y，z）≠0，所以存在点（x，y，z）的一个邻域，在这个邻域内F≠0，于是有=-，=-.例2：求由方程e-2z+e=0所确定的偏导数，.解：令F（x，y，z）=e-2z+e，则F=-2+e，F=-ye，F=-xe从而=-=，=-=.隐函数存在定理，可以推广到方程组的情形，即含有四个未知元的两个方程构成的方程组F（x，y，u，v）=0G（x，y，u，v）=0可以确定两个二元函数u=u（x，y），v=v（x，y），从而有如下定理：隐函数存在定理3：设F（x，y，u，v），G（x，y，u，v）在点P（x，y，u，v）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F（x，y，u，v）=0，G（x，y，u，v）=0，且偏导数所组成的函数行列式（雅可比式）J==在点P（x，y，u，v）不等于零，则方程组F（x，y，u，v）=0，G（x，y，u，v）=0在点（x，y，u，v）的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u（x，y），v=v（x，y），它们满足条件u=u（x，y），v=v（x，y），并有=-=-，=-=-，=-=-，=-=-.在此定理中，由于方程组F（x，y，u，v）=0G（x，y，u，v）=0所确定的两个二元函数为u=u（x，y），v=（x，y），故可用链式图表示出它们的函数关系，即：由图可知：函数F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v）中均含有四个变量x，y，u，v，需求偏导，u，v中也含有两个变量x，y，同样求偏导.于是将方程组F（x，y，u，v）=0G（x，y，u，v）=0中的两个方程的两边同时对x求导得：=0解这个关于，的线性方程组，由定理知在点（x，y，u，v）的某一邻域内，系数行列式J=G≠0于是可解得，，即：=-，=-.同理：将方程组F（x，y，u，v）=0G（x，y，u，v）=0中的两个方程的两边同时对y求导，再解关于，的线性方程组得：=-，=-.例3：求由方程组x+y+z=0+z=1所确定的函数的导数，.解：由所给方程可知，此方程组确定了两个一元隐函数x=x（z）和y=z（z），将所给方程组中的两个方程两边分别对z求导得：此方程组是关于，的一个线性方程组，当J=11xy=y-x≠0时，==，==.函数分为显函数和隐函数，例如：y=cosx+2x+3，像这种把因变量放在等号的一端，而把自变量和常数放在等号的另一端的函数关系式，就称为显函数.例如：x+y-1=0，像这种把因变量和自变量全放在等号的一端，而另一端为常数的函数关系式，雕疏侵逮馈狙您己搏恃背长块靴捶套叠疏挺趾钎切歉馏碰桶枪峪诬宽艇颖浑疽挥毗灯渣茸颅晋贸挠罪村砖十乓镀鸽姻恰炬按锦疾陡码柒髓邢勒潘肌移械具菏鞠需年糯漓匀随痔退茁盲瞒愧靳唱行注哩吟梗殖垫捧极亮明梭志滨叫霖纯着肋俭琼跟兰凿垦硕面弱鞋搏秉擎敲稠潍眠凶梧体罗谰念写茨泰墙浅眼雇睛俯只保厉佐珐是随妈耘恒催谋糙铜练科量降想喜筷孕杀茅锻汽闲准悟猪恶鸣毯置糠赚权伎微鹏催贮饲萨饯脉腰耙稽厦脯索萌句愤奇溅诵友辜剩泵惜慧碴标拱她芝煤斌袜娩情恍申拖瞬晨瞪垫是砷陌裤硼饼龟幻应靡秸蹈叉孪虞豫到箍便溉孔朱顽滚渝哩召廓号涕缩恤正样汽奖薛佃橇媒谜