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1例4-2证明0sin1xx在[0,1]内有一个根,使用二分法求误差不大于41021的根要迭代多少次?解答设xxxfsin1)(,则01sin)1(,01)(fxf;又因]1,0[,0cos1)(xxxf,故)(xf在[0,1]上单减,因此f(x)在[0,1]上有且仅有一个根。使用二分法时,误差限(按例4-1的编号方式)为4111102121)(21*kkkabxx,解得7287.132ln/10ln4,1024kk所以需迭代14次即可。例4-6用牛顿法求解Leonardo方程02010223xxx要求6110kkxx。解答由上题知,0)(xf在(1,2)内有一个根,且0)2(,0)(fxf,故应取20x,利用牛顿迭代公式,2,1,0),(/)(1kxfxfxxkkkk计算结果如下:kkxkkx0131.36886941911.641.36880810921.38338870451.368808108684510101.0xx,故取368808108.1*5xx。注记由上两题知,要达到同样的精度,牛顿法的迭代次数不一2定比弦割法少,尽管牛顿法是平方收敛的。究竟二者谁的迭代次数少,要视问题而定。另外就整体计算时间而言,当牛顿法中)(kxf的计算量超过)(kxf的计算量的44%时,双点弦割法的总计算时间较牛顿法的少,见参考文献7.例4-10能不能用迭代法求解下列方程,如果不能时,试将方程改写成能用迭代法求解的形式。(1)4/)sin(cosxxx;(2)xx24。分析判断方程)(xx能否用迭代法求根,最关键的是)(x在根的附近能否满足1)(Ix。因此可用该条件来判断。解答(1)4/)sin(cos)(xxx,对所有的x,有121424/)cossin()(xxx故能用迭代法求根。(2)方程为024xx。设xxxf24)(,则0)2(,0)1(ff,故有根区间为[1,2],题中138629.12ln22ln2)(,24)(xxxx,故不能用kxkx241来迭代。把原方程改写为2ln/)4ln(xx,此时,2ln)4ln()(xx,12ln212ln12412ln141)(xx,故可用迭代公式2ln/)4ln(1kkxx来求解。例4-11为求方程0123xx在5.10x附近的一个根,设将方程改写为下列等价形式,并建立相应的迭代公式:3(1)211xx,迭代公式2111kkxx(2)231xx,迭代公式3/121)1(kkxx(3)112xx,迭代公式2/11)1/(1kkxx试分析每种迭代公式的收敛性,并取一种公式求出具有4位有效数字的近似根。解答取5.10x的邻域[1.3,1.6]来考察。(1)1901.03.1/2/2)(,/11)(332xxxx,故迭代公式(1)收敛。(2)15515.0)]3.11(3/[6.12])1(3/[2)(,)1()(3/223/223/12xxxx,故(2)也收敛。(3)10758287.1)16.1(21]2/3)1(2/[1)(,1/1)(2/3xxxx,故发散。由于)(0x越小,越快地收敛于*x,故取第(2)式来求根。计算结果如下:kkxkkx01.551.4662430111.4812480361.4658768221.4727057371.4657102431.4688173181.4656344641.4670479791.465599994由于389102100003447.0xx,故可取466.1*9xx。例4-15设0,00xa,证明迭代公式)3/()3(221axaxxxkkkk是计算a的三阶方法。分析本题应说明kx的极限为a,并且)0()/()(lim31Caxaxkkk才行。关于第二件事也可按定理3.3来证(下文未给出该种证明)。证明显然,当0,00xa时,),2,1(0kxk。令)3/()3()(22axaxxx,则222222222)3()()3(6)3()3/()33()(axaxaxxaxxaxaxx故对1)(,0xx,即迭代收敛,设kx的极限为l,则有)3/()3(22alalll解得all,0,由题知取al。即迭代序列收敛于a。32331)3/()3(lim)(limkkkkkkkkxaaxaxxaxaxa)3()()(lim233axxaxakkkk04131lim2aaxkk故题中迭代式确是求a的三阶方法。例4-18试给出简化牛顿公式(单调弦割法),2,1,0),(/)(01nxfxfxxnnn收敛的一个充分条件。又设f(x)在[a,b]内有单根x*,证明5nnnxxxfmxx10)(1*,其中)(minxfmbxa。分析这里可看作是迭代函数为)(/)()(0xfxfxx的简单迭代法。因之,可用简单迭代法的充分条件来出本题方法的收敛性条件。解答令)(/)()(0xfxfxx,则1)(Lx(在x*的邻域内)是)(/)(01xfxfxxnnn收敛的一个充分条件,即1)(/)(10Lxfxf解得LxfxfL11)(/)(100因而,只要对给定的0x,存在10L,使对任何],[bax上式都能成立的话,单调弦割法就收敛。再由0*)(,0*)(xfxf,有)(/*))(()(/*))()(()(/)(0001xfxxfxfxfxfxfxfxxnnnnn介于nx与x*之间这样)()()(*10nnnxxfxfxx所以nnnxxfxfxx10)()(*nnxxxfm10)(1例7-2已知函数方程1)2(xex,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动点迭代公式使之对任意初始近似],[0bax,迭代方法均收敛;(3)用所构造的公式计算根的近似值,要求3110kkxx。解(1)令1)2()(xexxf,由于01)2(f,01)3(3ef,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间,又因6)(lim,)1()(xfexxfxx,01)1(,0)1(,1)(lim1effxfx,当1x时f(x)单减,故f(x)=0在),(内有具仅有一根*x,即]3,2[*x。(2)将1)2(xex等价变形为]3,2[,2xexx,则xex2)(,由于当]3,2[x时1)(,3)(222eexx故不动点迭代法,2,1,0,21kexxkk,对]3,2[0x均收敛。(3)取5.20x,利用xkkex21进行迭代计算,结果如表7-2所示kkx1kkxx02.512.0820849990.41791500122.1246700040.04258500532.1194723870.005819761742.1200949760.000622589此时x4已满足误差要求,即120094976.2*4xx。例7-3考虑求解方程0123cos2xx的迭代公式,2,1,0,cos3241kxxkk(1)试证:对任意初始近似Rx0,该方法收敛;(2)取40x,求根的近似值3110kkxx;(3)所给方法的收敛阶是多少?解(1)由迭代公式知,迭代函数),(,cos324)(xxx。由于)(x的值域介于324与324之间,且7132sin32)(xx故根据定理7.1,7.2知)(x在),(内存在惟一的不动点x*,且对Rx0,迭代公式得到的序列kx收敛于x*。(2)取40x,迭代计算结果如表7-3所示。表7-3kkx1kkxx0413.5642375870.43576241323.3919951680.17224241933.3541248270.03787034143.3483333840.00579144353.3475299030.000803481此时5x已满足差要求,即347529903.3*5xx(3)由于0136323129.0*)(x,故根据定理7.4知方法是线性收敛的,并有有*)(lim1xeekkk。例7-4对于迭代函数)2()(2xCxx,试讨论:(1)当C为何值时,),2,1,0)((1kxxkk产生的序列kx收敛于2;(2)C取何值对收敛最快?(3)分别取221,21C,计算)(x的不动点2,要求5110kkxx8解(1)CxxxCxx21)(),2()(2,根据定理7.3当1221)2(C,亦即021C时迭代收敛。(2)由定理7.4知,当0221)2(C,即221C时迭代至少是二阶收敛的,收敛最快。(3)分别取221,21C,并取,2.10x迭代计算结果如表7-4所示。表7-4k21Cxkk221Cxk01.201.211.4811.39798989961.14336958621.414120505121.41420930331.414213559131.41421532741.414213562此时都达到5110kkxx。事实上,141213562.12例7-8曲线151.03xxy与89.14.22xy在点(1.6,1)附近相切,试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值1kx,使5110kkxx。解两曲线的导数分别为51.032xy和xy8.4,两曲线相切,导数相等,故有051.08.432xx9令51.08.43)(2xxxf,则f(1)0,f(2)0,故区间[1,2]是f(x)=0的有根区间,又当]2,1[x时,08.46)(xxf,因此f(x)=0在[1,2]上有惟一实根x*,对f(x)应用牛顿迭代法,得计算公式,2,1,0,8.4651.08.4321kxxxxxkkkkk由于06)(xf,故取20x迭代计算一定收敛,计算结果如表7-6所示。表7-6kkxkkx02.031.70681528712.29305555641.70002561121.81778359251.7继续计算仍得7.16x,故7.1*x。注本题也可令89.14.2151.023xxx,解得切点横坐标满足方程089.2514.2)(23xxxxf,用有重根时的牛顿迭代法(7.15)式计算,此时m=2,仍取x0=2,经四步可得x*=1.7。9.研究求a的牛顿公式0,2101xxaxxkkk证明对一切axkk,,2,1且序列,,21xx是递减的。证法一用数列的办法。因00x由1121kkkxaxx知0kx,且10.,3,2,1,21211kaaxaxxkkk又由1,122122121kaaxaxxkkk故kkxx1,即1}{kkx单减有下界a。根据单调有界原理知,{xk}有极限。易证其极限为a。证法二设)0()(2aaxxf。易知f(x)=0在[0,+]内有惟一
本文标题:分析题库1(方程-迭代)
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