复数的概念与运算

复数、算法初步知识体系考纲解读1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件,了解复数的代数表示法及其几何意义.2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义，会进行复数代数形式的四则运算.3.了解算法的含义，了解算法的思想.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.4.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.复数的概念与运算1.理解复数的有关概念，以及复数相等的充要条件.2.会进行复数的代数形式的四则运算.3.了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义.1.复数的代数形式：z=a+bi(a,b∈R),其中i2=-1,a为实部,b为虚部.2.复数的分类：实数(b=0)虚数(b≠0);纯虚数(a=0)非纯虚数（a≠0).复数a+bi虚数a+bi(b≠0)3.复数相等的充要条件：a+bi=c+di①.4.复数的模：|a+bi|=②=③.5.共轭复数：a+bi与a-bi互为④.显然，任一实数的共轭复数是它自己.a=cb=d22ab||OZ共轭复数6.复数的代数形式的几何意义复数z=a+bi(a,b∈R)可用复平面内的点Z(a,b)以及⑤表示,且三者之间为一一对应关系.规定:相等的向量表示同一个复数.7.复数的代数形式的四则运算：若a、b、c、d∈R,则：(a+bi)±(c+di)=⑥；(a+bi)(c+di)=⑦；==⑧；其中c、d不同时为0.以原点为起点,点Z(a,b)为终点的向量OZ(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)iabicdi22()()abicdicd2222acbdbcadcdcd8.复平面内两点间的距离：复平面内两点Z1、Z2对应的复数分别为z1、z2,则||==,其中O为原点.9.复数的加、减法的几何意义：复数的加、减运算满足向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则).12ZZ|z2-z1|题型一复数的概念及几何意义例1典例精讲典例精讲典例精讲典例精讲已知复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)I,当实数m为何值时，（1）z为纯虚数；（2）z为实数；（3）z对应的点在复平面的第二象限.分析分析依据复数分类的条件和代数形式的几何意义求解.（1）当m=3时，z为纯虚数.lg(m2-2m-2)=0m=3或m=-1m2+3m+2≠0m≠-2或m≠-1m=3.z为纯虚数(2)当m=-2或m=-1时，为实数.m2+3m+2=0m=-2或m=-1m2-2m-20m1-3或m1+3m=-2或m=-1.(3)当m∈(-1,3)时,z对应的点在复平面的第二象限.lg(m2-2m-2)0m2-2m-30m2+3m+20m2+3m+20,-1m3m-2或m-1z为实数由,得解得，即-1m3.点评点评复数为何属性的数的问题通常可转化为其实数、虚部应满足的条件，复数对应的点位于复平面的什么位置也取决于实部和虚部的取值.题型二复数的运算例2计算：(1);(2).2(1)(1)1iii2232()1123iii(1)原式=i·(-2i)=-2i2=2.(2)原式==i+=i+-i=0.2232()1123iii1i点评点评复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位“i”的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.题型三复数的相等的充要条件及应用例3已知关于x的方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0有实数根,求锐角θ的值及实数根.分析分析由题设解是有实根，设其实根为x0，代入方程，由复数相等的充要条件即可求解.设原方程的实根为x0,则x02-(tanθ+i)x0-(2+i)=0,即(x02-tanθx0-2)-(x0+1)i=0，x02-tanθx0-2=0x0+1=0，求得x0=-1,tanθ=1，又θ∈(0,)，所以θ=.故θ=，实根为-1.由复数相等的充要条件得244变式变式变式设z的共轭复数为，若z+=4，z·=8，求的值.zzz设z=x+yi（x、y∈R)，则=x-yi,所以z+=2x=4，所以x=2,又z·=x2+y2=8,所以y=±2,所以z=2±2i,所以==或,即z=i或-i.zzzzz2()zzz2(22)8i2(22)8i点评点评涉及复数方程问题一般转化为复数相等的充要条件问题求解.zz题型四复数加法运算的几何意义及应用例4若复数z满足|z+2|+|z-2|=8,求|z+2|的最大值和最小值.在复平面内满足|z+2|+|z-2|=8的复数z对应的点的轨迹是以点(-2,0)和(2,0)为焦点，8为长轴长的椭圆.|z+2|表示椭圆上的点到焦点(-2,0)的距离.椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和最小值.因此，当z=4时，|z+2|有最大值6；当z=-4时,|z+2|有最小值2.点评点评此题若令z=x+yi,问题的条件和结论都是较复杂的式子，不好处理.从复数的加、减法的几何意义去理解，则是一道简单的几何问题.变式变式变式若复数z满足|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.(方法一)一般的，满足|z-z0|=r的复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.因为圆|z+2-2i|=1的圆心为C(-2,2),半径r=1,而|z-2-2i|表示圆上的点到定点A(2，2)的距离,故其最小值为|CA|-r=4-1=3.(方法二)因为|z-2-2i|=|z+2-2i-4|≥||z+2-2i|-4|=3，故|z-2-2i|min=3.(方法三)设z=x+yi(x,y∈R)，因此有|x+2+(i-2)i|=1,即(x+2)2+(y-2)2=1.又|z-2-2i|===,而|x+2|=≤1,即-3≤x≤-1，所以当x=-1时，|z-2-2i|取得最小值3.22(2)(2)xy22(2)1(2)xx18x21(2)y点评点评方法一是一种常规方法，注意z对应的点在圆上这一约束条件；方法二是几何法，以数寻形，有明显的几何特征，再由形解数，实现数与形的互化；方法三利用的是复数模的运算性质，体现了解题的灵活性.备选题备选题在复数集C内解一元二次方程x2-4x+5=0.由于Δ=b2-4ac=16-20=-40,所以x==2±i.442i点评点评实数集扩充为复数集后，解决了实系数一元二次方程在实数集中无解的问题，即在复数集中，实系数的一元二次方程总有解.当Δ0时，实系数的一元二次方程有成对共轭虚数根.方法提炼方法提炼1.设z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.2.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.3.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.走进高考走进高考学例1(2008·辽宁卷)复数的虚部是()B11212iiA.iB.C.-iD.-15151515==(-2-i)+(1+2i)=-+i,所以虚部为.11212ii212(2)(2)(12)(12)iiiiii1515151515学例2(2009·安徽卷)i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R)，则乘积ab的值是()172iiBA.-15B.-3C.3D.15==-1+3i,所以a=-1,b=3,ab=-3，故选B.172ii(17)(2)5ii1.如果用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则下列关系正确的是（）DA.C=R∪IB.R∩I={0}C.CR=C∩ID.R∩I=由复数的分类可知应选D.2.已知向量对应的复数为3-2i，对应的复数为-4-i，则对应的复数为（）OAOBABCA.-1-iB.7-3iC.-7+iD.1+i由复数运算的几何意义，=-=（-4-i)-(3-2i)=-7+i，故选C.ABOBOA3.复数z1=3+i，z2=1-i，则z=z1·z2在复平面内对应的点位于（）DA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限z=z1·z2=(3+i)(1-i)=3×1+i×(-i)+i-3i=4-2i,对应的点为（4，-2），位于第四象限.4.已知复数z1=a+2i，z2=-2+i，且|z1|=|z2|,则实数a=.±1由已知可得=，则a=±1.222a22(2)15.若复数为纯虚数(i为虚数单位,a为实数)，则实数a=.1aii-1因为===+为纯虚数,所以=0，且≠0，所以a=-1.1aii()(1)(1)(1)aiiii1(1)2aai12a12ai12a12a