1112学年高中数学221综合法与分析法同步练习新人教A版选修22高中数学练习试题

-1-选修2-22.2第1课时综合法与分析法一、选择题1．证明命题“f(x)＝ex＋1ex在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝ex＋1ex，∴f′(x)＝ex－1ex.∵x0，∴ex1,01ex1∴ex－1ex0，即f′(x)0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是()A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是[答案]A[解析]该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设abc，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac3a索的因应是()A．a－b0B．a－c0C．(a－b)(a－c)0D．(a－b)(a－c)0[答案]C[解析]要证b2－ac3a只需证b2－ac3a2只需证b2－a(－b－a)3a2只需证2a2－ab－b20.只需证(2a＋b)(a－b)0，只需证(a－c)(a－b)0.故索的因应为C.3．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·bm＋dn(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为()A．p≥qB．p≤qC．pqD．不确定[答案]B-2-[解析]q＝ab＋madn＋nbcm＋cd≥ab＋2abcd＋cd＝ab＋cd＝p.4．已知函数f(x)＝12x，a、b∈R＋，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A[答案]A[解析]a＋b2≥ab≥2aba＋b，又函数f(x)＝12x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴fa＋b2≤f(ab)≤f2aba＋b.5．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是()A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβB．sin(α＋β)＞cosα＋cosβC．cos(α＋β)＞sinα＋sinβD．cos(α＋β)cosα＋cosβ[答案]D[解析]∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，∴cosα＞cos(α＋β)又cosβ＞0，∴cosα＋cosβ＞cos(α＋β)．6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR0成立．其次，若PQR0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P0，Q0，即a＋b－c0，b＋c－a0，∴b0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.7．已知yx0，且x＋y＝1，那么()-3-A．xx＋y2y2xyB．2xyxx＋y2yC．xx＋y22xyyD．x2xyx＋y2y[答案]D[解析]∵yx0，且x＋y＝1，∴设y＝34，x＝14，则x＋y2＝12，2xy＝38.所以有x2xyx＋y2y，故排除A、B、C.8．下面的四个不等式：①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤14；③ba＋ab≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]C[解析]∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0a(1－a)－14＝－a2＋a－14＝－a－122≤0，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2.∴应选C.9．若x，y∈R＋，且x＋y≤ax＋y恒成立，则a的最小值是()A．22B.2C．2D．1[答案]B[解析]原不等式可化为a≥x＋yx＋y＝(x＋y)2x＋y＝1＋2xyx＋y要使不等式恒成立，只需a不小于1＋2xyx＋y的最大值即可．∵1＋2xyx＋y≤2，当x＝y时取等号，∴a≥2，∴a的最小值为2.故应选B.-4-10．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)＝ax－a－x2，C(x)＝ax＋a－x2，其中a0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)；④C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．A．①③B．②④C．①④D．①②③④[答案]D[解析]∵S(x)＝ax－a－x2，C(x)＝ax＋a－x2，∴S(x＋y)＝ax＋y－a－x－y2，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝ax－a－x2·ay＋a－y2＋ax＋a－x2·ay－a－y2＝ax＋y＋ax－y－ay－x－a－x－y＋ax＋y－a－x－y＋ay－x－a－x－y4＝2(ax＋y－a－x－y)4＝ax＋y－a－x－y2.∴S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)同理：S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．应选D.二、填空题11．如果aa＋bb＞ab＋ba，则实数a、b应满足的条件是________．[答案]a≥0，b≥0且a≠b[解析]∵aa＋bb＞ab＋ba⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.12．设a0，b0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab)________12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．[答案]≤[解析]∵(1＋ab)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2ab＋ab－1－a－b－ab-5-＝2ab－(a＋b)＝－(a－b)2≤0∴(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，∴lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．13．如果不等式|x－a|1成立的充分非必要条件是12x32，则实数a的取值范围是________．[答案]12≤a≤32[解析]|x－a|＜1⇔a－1＜x＜a＋1由题意知12，32a－1，a＋1)则有a－1≤12a＋1≥32，(且等号不同时成立)解得12≤a≤32.14．给出下列不等式：①ab0，且a2＋b24＝1，则aba2b2；②a，b∈R，且ab0，则a2＋b2ab≤－2；③ab0，m0，则a＋mb＋mab；④x＋4x≥4(x≠0)．其中正确不等式的序号为________．[答案]①②④[解析]①ab0，∴a≠b2∴a2＋b24＝12a2·b24＝ab∴1－ab0，∴ab－a2b2＝ab(1－ab)0，∴aba2b2正确．②a2＋b2ab＋2＝(a＋b)2ab∵ab0，(a＋b)2≥0，∴a2＋b2ab≤－2，②正确；③a＋mb＋m－ab＝(b－a)mb(b＋m)-6-∵ab0，m0，∴b(b＋m)0，b－a0，∴(b－a)mb(b＋m)0，∴a＋mb＋mab，③不正确．④x＋4x＝|x|＋4|x|≥4，④正确．三、解答题15．设a0，b0，a＋b＝1.求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；(2)a＋1a2＋b＋1b2≥252.[证明](1)∵a0，b0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2ab，ab≤12，∴1ab≥4.∴1a＋1b＋1ab＝(a＋b)1a＋1b＋1ab≥2ab·21ab＋4＝8，∴1a＋1b＋1ab≥8.(2)∵a＋b2≤a2＋b22，则a2＋b22≥a＋b22∴a＋1a2＋b＋1b2≥2a＋1a＋b＋1b22＝1＋1a＋1b22≥1＋21ab22≥252.∴a＋1a2＋b＋1b2≥252.16．已知ab0，求证(a－b)28aa＋b2－ab(a－b)28b.[证明]欲证(a－b)28aa＋b2－ab(a－b)28b成立．只需证(a－b)24aa＋b－2ab(a－b)24b⇐a－b2a2(a－b)2a－b2b2-7-⇐a－b2aa－ba－b2b⇐a＋b2a1a＋b2b⇐1＋ba21＋ab⇐ba1ab⇐ba1ab.∵ab0，∴ba1ab成立．从而，有(a－b)28aa＋b2－ab(a－b)28b.17．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，求证：aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.[证明]要证明aa＋m＋bb＋m＞cc＋m只需证明aa＋m＋bb＋m－cc＋m＞0即可∴aa＋m＋bb＋m－cc＋m＝a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)(a＋m)(b＋m)(c＋m)∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2∵△ABC中任意两边之和大于第三边∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0∴aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.18．若a，b，c为不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.[证明]要证lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc，只需证lga＋b2·b＋c2·c＋a2lg(a·b·c)，即证a＋b2·b＋c2·c＋a2abc.因为a，b，c为不全相等的正数，-8-所以a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，c＋a2≥ac0，且上述三式中等号不能同时成立．所以a＋b2·b＋c2·c＋a2abc成立，所以lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc成立．