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北京五中2010/2011学年度上学期期中考试试卷高三数学(理科)一.选择题(每题5分,共40分,请把答案填在第3页表中)1.设集合2,1A,则满足3,2,1BA的集合B的个数是())(A1)(B3)(C4)(D82.给出下列命题:①2xxxR;②2xxxR;③43;④“21x”的充要条件是“1x,或1x”,其中正确命题的个数是())(A0)(B1)(C2)(D33.设非零向量ba,满足,baba,则a与ba的夹角为())(A30°)(B60°)(C90°)(D120°4.已知等差数列}{na的前20项的和为100,那么147aa的最大值为())(A25)(B50)(C100)(D不存在5.将函数sin2yx的图象向左平移4个单位长度,向上平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式是())(A22cosyx)(Bcos2yx)(Ccos2yx)(D22cosyx6.若过定点)0,1(M且斜率为k的直线与圆05422yxx在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是())(A50k)(B05k)(C130k)(D50k7.函数bxxfalog)(是偶函数,且在区间,0上单调递减,则)2(bf与)1(af的大小关系为())(A)1()2(afbf)(B)1()2(afbf)(C)1()2(afbf)(D不能确定8.一根竹竿长2米,竖直放在广场的水平地面上,在1t时刻测得它的影长为4米,在2t时刻的影长为1米。这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子是椭圆,问在1t、2t这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为())(A1:1)(B2:1)(C3:1)(D2:1二.填空题(每题5分,共30分,请把答案填在第3页表中)9.函数)32cos()62sin()(xxxf的最小正周期为10.与)4,3(a垂直的单位向量为______________D1A1DAB1C1CB11.已知1,1,yyxxy则yxz2的最大值是12.已知当4x时,12)(xxf,且)4()4(xfxf恒成立,则当4x时,)(xf=13.已知点P2,2在曲线3yaxbx上,如果该曲线在点P处切线的斜率为9,那么ab,此时函数3fxaxbx,3[,3]2x的值域为14.一个正方体形状的无盖铁桶1111DCBAABCD的容积是V,里面装有体积为V32的水,放在水平的地面上(如图所示).现以顶点A为支撑点,将铁桶倾斜,当铁桶中的水刚好要从顶点1A处流出时,棱1AA与地面所成角的余弦值为三.解答题(共80分)15.某车间甲组10名工人,其中4名女工人,乙组5名工人,其中3名女工人,现采用分层抽样方法,从甲乙两组中共抽取3名工人进行技术考核(1)求从甲乙两组各抽取的人数(2)求从甲组抽取的2人中恰有1名女工的概率(3)用X表示抽取的3名工人中男工人数,求X的分布列及数学期望16.在ABC中,a、b、c为角A、B、C的对边,已知A、B为锐角,且532cosA,1010sinB(1)求BA的值(2)若12ba,求a、b、c的值17.如图①,正三角形ABC边长2,CD为AB边上的高,E、F分别为AC、BC中点,现将ABC沿CD翻折成直二面角BDCA,如图②(1)判断翻折后直线AB与面DEF的位置关系,并说明理由(2)求二面角DACB的余弦值(3)求点C到面DEF的距离[图①图②[18.已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为63,短轴的一个端点到右焦点的距离为3,直线:lykxm交椭圆于不同的两点A,B(Ⅰ)求椭圆的方程(Ⅱ)若坐标原点O到直线l的距离为32,求AOB面积的最大值19.已知函数2()ln(1),0fxaxxaxa,(Ⅰ)若21x是函数)(xf的一个极值点,求a;(Ⅱ)讨论函数)(xf的单调区间;(Ⅲ)若对于任意的[1,2]a,不等式fxm≤在1[,1]2上恒成立,求m的取值范围.20.已知数列na和nb,nan,nnb2,定义无穷数列nc如下:1a,1b,2a,2b,3a,3b,…,na,nb,…(1)写出这个数列nc的一个通项公式(不能用分段函数)(2)指出32是数列nc中的第几项,并求数列nc中数值等于32的两项之间(不包括这两项)的所有项的和(3)如果yxcc(Nyx,,且yx),求函数)(xfy的解析式,并计算yxxccc31(用x表示)北京五中2010/2011学年度上学期期中考试试卷高三数学(理科)答案1.C2.C3.D4.A5.A6.A7.C8.A9.210.)53,54(,)53,54(11.312.x7213.-3[-2,18]14.112215.解:(1)甲组2人,乙组1人(2)1582101416CCC(3)X可能取值为0,1,2,3252)0(152101324CCCCXP7528)1(152101224131416CCCCCCCXP7531)2(152101326121416CCCCCCCXP152)3(152101226CCCCXP分布列为X012[3P2527528753115258EX16.解:(Ⅰ)A、B为锐角,10sin10B,2310cos1sin10Bb又23cos212sin5AA,5sin5A,225cos1sin5AA,253105102cos()coscossinsin5105102ABABAB0AB4AB…………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知34C,2sin2C.由正弦定理sinsinsinabcABC得5102abc,即2ab,5cb21abQ,221bb,1b17.解:(1)平行(证明略)(2)取AE中点M,角BMD即所求,余弦值为721(3)CDFEDEFCVV,可得点C到面DEF的距离为72118.解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,依题意633caa,解得2c.222abc由得,b=1.所求椭圆方程为221.3xy(Ⅱ)23,21mk由已知可得223(1)4mk.ykxm将代入椭圆方程,222(13)6330kxkmxm整理得.2226413330()kmkm2121222633,1313kmmxxxxkk.2222222212223612(1)(1)()(1)[](31)31kmmABkxxkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk242221212123334(0)196123696kkkkkk2219kk当且仅当,33k即时等号成立.33k经检验满足(*)式,.03.kAB当时,max2AB综上可知,1332222ABAOBS当最大时的面积取最大值,.19.解:(Ⅰ)1)2(2)(22axxaaxxf……………………………………………2分因为21x是函数)(xf的一个极值点,所以0)21(f,得022aa.因为0a,所以2a.……………………………………………………3分(Ⅱ)因为)(xf的定义域是1(,)a,1)22(21)2(2)(222axaaxaxaxxaaxxf.(1)当2a时,列表x1(,0)a22(0,)2aa22(,)2aa)(xf+-+)(xf增减增)(xf在1(,0)a,22(,)2aa是增函数;)(xf在22(0,)2aa是减函数.(2)当2a时,222()021xfxx≥,)(xf在2(,)2是增函数.(3)当20a时,列表x212(,)2aaa22(,0)2aa(0,))(xf+-+)(xf增减增)(xf在212(,)2aaa,(0,)是增函数;)(xf在22(,0)2aa是减函数.……9分
本文标题:2011届北京五中高三上期中考试数学理试题
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