2012届高三数学一轮复习立体几何练习题4

第9章第4节一、选择题1．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2[答案]B[解析]如图(1)，α∩β＝l，m∥l，l1∥l，满足m∥β且l1∥α，故排除A；如图(2)，α∩β＝l，m∥n∥l，满足m∥β，n∥β，故排除C.在图(2)中，m∥n∥l∥l2满足m∥β，n∥l2，故排除D，故选B.[点评]∵l1与l2相交，m∥l1，n∥l2，∴m与n相交，由面面平行的判定定理可知α∥β；但当m、n⊂α，l1，l2⊂β，l1与l2相交，α∥β时，如图(3)，得不出m∥l1且n∥l2.(理)设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β[答案]C[解析]对于A，如图正方体α、β分别为平面ABCD与平面ADD1A1，a、b分别为直线B1B和C1C.a与b也可能平行，对于B，∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，又b⊥β，∴a∥b，对于D，a与b也可能平行，故选C.2．(2010·郑州检测)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]依题意得，命题“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”是真命题(由“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”可知)；命题“a∥β，且a⊥c⇒β⊥c”是假命题(直线c可能位于平面β内，此时结论不成立)；命题“α∥b，且α⊥c⇒b⊥c”是真命题(因为α∥b，因此在平面α内必存在直线b1∥b；又α⊥c，因此c∥b1，c⊥b)．综上所述，其中真命题共有2个，选C.3．(2010·东北三校模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B1，CD，B1C1的中点，则下列命题正确的是()A．AM与PC是异面直线B．AM⊥PCC．AM∥平面BC1ND．四边形AMC1N为正方形[答案]C[解析]连接MP，AC，A1C1，AM，C1N，由题易知MP∥A1C1∥AC，且MP＝12AC，所以AM与PC是相交直线，假设AM⊥PC，∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面BCC1B1，又AB⊥平面BCC1B1矛盾，∴AM与PC不垂直．因为AM∥C1N，C1N⊂平面BC1N，所以AM∥平面BC1N.又易得四边形AMC1N为菱形而不是正方形，故选C.4．(文)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α[答案]B[解析]a、b异面时，A错，C错；若D正确，则必有a⊥b，故排除A、C、D，选B.(理)设a、b为两条直线，α、β为两个平面．下列四个命题中，正确的命题是()A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b[答案]D[解析]若直线a、b与α成等角，则a、b平行、相交或异面；对选项B，如a∥α，b∥β，α∥β，则a、b平行、相交或异面；对选项C，若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α、β平行或相交；对选项D，由a⊥αβ⊥α⇒a∥β或a⊂β，无论哪种情形，由b⊥β都有b⊥a.，故选D.5．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF②AB与CM成60°③EF与MN是异面直线④MN∥CD其中正确的是()A．①②B．③④C．②③D．①③[答案]D[解析]本题考查学生的空间想象能力，将其还原成正方体如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD.只有①③正确，故选D.6．(文)(2010·山东潍坊)已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β[答案]D[解析]对于选项A，两平面β、γ同垂直于平面α，平面β与平面γ可能平行，也可能相交；对于选项B，平面α、β可能平行，也可能相交；对于选项C，直线n可能与平面α平行，也可能在平面α内；对于选项D，∵m∥n，m⊥α，∴n⊥α，又n⊥β，∴α∥β，故选D.(理)(2010·曲师大附中)已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题中为真命题的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥βC．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．若α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则a∥β[答案]D[解析]选项A中，直线a可能在平面α内；选项B中，直线a可能在平面β内；选项C中，直线a，b为相交直线时命题才成立．7．(2010·江苏南通)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面是()A．邻边不等的平行四边形B．菱形但不是正方形C．邻边不等的矩形D．正方形[答案]B[解析]设正方体棱长为1，连结D1P，D1Q，则易得PB＝PQ＝D1P＝D1Q＝52，取D1D的中点M，则D1P綊AM綊BQ，故截面为四边形PBQD1，它是一个菱形，又PQ＝AC＝2，∴∠PBQ不是直角，故选B.8．(文)(2010·山东日照、聊城模考)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β；其中真命题是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案]C[解析][点评]如图，α∩β＝m，则l⊥m，故(2)假；在上述图形中，当α⊥β时，知③假．(理)(2010·福建福州市)对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是()A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n[答案]D[解析]正三棱锥P－ABC的侧棱PA、PB与底面成角相等，但PA与PB相交应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C.∵m、n共面，设经过m、n的平面为β，∵m⊂α，∴α∩β＝m，∵n∥α，∴n∥m，故D正确．9．(文)(2010·北京顺义一中月考)已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β[答案]C[解析]如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取平面ABD1A1为α，平面ABCD为β，B1C1为l，则排除A、B；又取平面ADD1A1为α，平面BCC1B1为β，B1C1为l，排除D.(理)(2010·广东罗湖区调研)已知相异直线a，b和不重合平面α，β，则a∥b的一个充分条件是()A．a∥α，b∥αB．a∥α，b∥β，α∥βC．a⊥α，b⊥β，α∥βD．α⊥β，a⊥α，b∥β[答案]C[解析]a∥α，b∥α时，a与b可相交可异面也可平行，故A错；a∥α，b∥β，α∥β时，a与b可异面，故B错；由α⊥β，a⊥α得，a∥β或a⊂β，又b∥β，此时a与b可平行也可异面，排除D.10．(2010·日照实验高中)如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，且始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()[答案]C[解析]过M作ME⊥AD于E，连接EN，则平面MEN∥平面DCC1D1，所以BN＝AE＝x(0≤x1)，ME＝2x，MN2＝ME2＋EN2，则y2＝4x2＋1，y2－4x2＝1(0≤x1，y0)，图象应是焦点在y轴上的双曲线的一部分．故选C.二、填空题11．(文)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.[答案]M∈线段FH[解析]因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，又平面NHF∩平面EFGH＝FH.故线段FH上任意点M与N相连，有MN∥平面B1BDD1，故填M∈线段FH.(理)(2010·南充市模拟)已知两异面直线a，b所成的角为π3，直线l分别与a，b所成的角都是θ，则θ的取值范围是________．[答案][π6，π2]12．在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．[答案]面ABC和面ABD[解析]连结AM并延长交CD于点E，∵M为△ACD的重心，∴E为CD的中点，又N为△BCD的重心，∴B、N、E三点共线，由EMMA＝ENNB＝12得MN∥AB，因此MN∥平面ABC，MN∥平面ABD.13．如图是一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中，①AB与CD相交；②MN∥PQ；③AB∥PE；④MN与CD异面；⑤MN∥平面PQC.其中真命题的序号是________．[答案]①②④⑤[解析]将正方体还原后如图，则N与B重合，A与C重合，E与D重合，∴①、②、④、⑤为真命题．14．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝a3，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.[答案]223a[解析]∵B1D1∥平面ABCD，平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，∴B1D1∥PQ，又B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ，∴PQPM＝PDAP＝2，即PQ＝2PM，又△APM∽△ADP，∴PMBD＝APAD＝13，∴PM＝13BD，又BD＝2a，∴PQ＝223a.三、解答题15．(文)(2010·南京调研)如图，在四棱锥E－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE＝EC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BC；(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE.[解析](1)因为BM⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以BM⊥AE.因为AE⊥BE，且BE∩BM＝B，BE、BM⊂平面EBC，所以AE⊥平面EBC.因为BC⊂平面EBC，所以AE⊥BC.(2)解法1：取DE中点H，连接MH、AH.因为BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，所以BM⊥EC.因为BE＝BC，所以M为CE的中点．所以MH为△EDC的中位线，所以MH綊12DC.因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC綊AB.故MH綊12AB.因为N为AB的中点，所以MH綊AN.所以四边形ANMH为平行四边形，所以MN∥AH.因为MN⊄平面ADE，AH⊂平面ADE，所以MN∥平面ADE.解法2：取EB的中点F，连接MF、NF.因为BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，所以BM⊥EC.因为BE＝BC，所以M为CE的中点，所以MF∥BC.因为N为AB的中点，所以NF∥AE，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC.所以MF∥AD.因为NF、MF⊄平面ADE，AD、AE⊂平面ADE，所以NF∥平面ADE，MF∥平面ADE.因为MF∩NF＝F，MF、NF⊂平面MNF，所以平面MNF∥平面ADE.因为MN⊂平面MNF，所以MN∥平面ADE.(理)(2010·厦门市质检)如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2，CD＝1，F为BE的中点．(1)若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明