2012届高三数学一轮复习立体几何练习题7

第9章第7节一、选择题1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若AE→＝zAA1→＋xAB→＋yAD→，则x＋y＋z的值为()A．1B.32C．2D.34[答案]C[解析]∵AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12AA1→＋12AD→.2．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足BP→＝12BA→－12BC→＋BD→，则|BP→|2的值为()A.32B．2C.10－24D.94[答案]D[解析]由题意，翻折后AC＝AB＝BC，∴∠ABC＝60°，∴|BP→|2＝|12BA→－12BC→＋BD→|2＝14|BA→|2＋14|BC→|2＋|BD→|2－12BA→·BC→－BC→·BD→＋BA→·BD→＝14＋14＋2－12×1×1×cos60°－1×2cos45°＋1×2×cos45°＝94.3．(2010·广西南宁二中模考)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为()A.22B.155C.64D.63[答案]C[解析]解法一：取BC的中点D，在正三角形ABC中，AD⊥BC，在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AC1D为AC1与平面BB1C1C所成的角，设AB＝AA1＝1，则AD＝32，AC1＝2，∴sin∠AC1D＝ADAC1＝64，故选C.解法二：以线段BC的中点D为原点，直线BC、AD分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图．设AB＝1，则A(0，32，0)，C1(12，0,1)，设AC1与平面BB1C1C所成角为θ，易知平面BB1C1C的一个法向量为DA→＝(0，32，0)，又AC1→＝(12，－32，1)，∴sinθ＝|cos〈AC1→，DA→〉|＝|AC1→·DA→||AC1→|·|DA→|＝64，故选C.4．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为AA1的中点，则直线BD与平面GB1D1的距离为()A.33B.263C.63D.233[答案]B[分析]求直线与平面的距离，应有直线与平面平行，故可转化为点面距，为此找出平面的一个法向量和该点与平面内一点连线的方向向量，即可通过向量的数量积来求．一般地，平面α的法向量为n，平面内一点P和平面外一点Q，则Q到α的距离d＝|n·PQ→||n|.[解析]如图建立空间直角坐标系，则B(2,2,0)，G(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，D1B1→＝(2,2,0)，D1G→＝(2,0，－1)，BB1→＝(0,0,2)．设平面GB1D1的法向量n＝(x，y，z)，则n·D1B1→＝0，n·D1G→＝0，∴2x＋2y＝0,2x－z＝0，即y＝－x，z＝2x.令x＝1，则n＝(1，－1,2)．∵BD∥B1D1，∴BD∥平面GB1D1.∴BD与平面GB1D1的距离为d＝|BB1→·n||n|＝263.故选B.5．已知二面角α－l－β的大小为120°，点B、C在棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB＝2，BC＝1，CD＝3，则AD的长为()A.14B.13C．22D．25[答案]D[解析]由条件知|AB→|＝2，|BC→|＝1，|CD→|＝3，AB→⊥BC→，BC→⊥CD→，〈AB→，CD→〉＝60°，AD→＝AB→＋BC→＋CD→，∴|AD→|2＝|AB→|2＋|BC→|2＋|CD→|2＋2AB→·BC→＋2BC→·CD→＋2AB→·CD→＝4＋1＋9＋2×2×3×cos60°＝20，∴|AD→|＝25.6．正四棱锥P－ABCD的底面边长为2，高为3，E、F分别为PC，PD的中点，则异面直线AC与EF的距离为()A.12B.32C.233D.23[答案]B[分析]若能找到n，n·AC→＝0，n·EF→＝0，则d＝|CF→·n||n|.[解析]以正方形ABCD的中心为原点，与边BC、CD垂直的直线分别为x轴、y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，则由条件知：C(1,1,0)，D(－1,1,0)，P(0,0,3)，∴E12，12，32，F－12，12，32，∴OC→＝(1,1,0)，EF→＝(－1,0,0)，设n＝(x，y，z)，则n·OC→＝0，n·EF→＝0，∴x＋y＝0，－x＝0，∴x＝y＝0，取n＝(0,0,1)，又CF→＝－32，－12，32，∴d＝|n·CF→||n|＝32，故选B.[点评]只要向量n与两条异面直线的方向向量垂直，不论两点M、N分别是两异面直线上的哪一点，都有d＝|n·MN→||n|.7．(2010·河南新乡市模考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为()A.12B.24C.22D.32[答案]B[解析]以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O12，12，1，设平面ABCD的法向量n＝(x，y,1)，则n·AB→＝0n·AD1→＝0，∴y＝0－x＋1＝0，∴x＝1y＝0，∴n＝(1,0,1)，又OD1→＝－12，－12，0，∴O到平面ABC1D1的距离d＝|n·OD1→||n|＝122＝24.[点评]1.建立坐标系可以有不同的方案，如以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z建立空间直角坐标系，则O12，12，1，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D1(0,1,1)，设平面ABC1D1的法向量n＝(x，y,1)，则n·AB→＝0n·AD1→＝0，∴x＝0y＝1，∴n＝(0，－1,1)，∴O到平面ABC1D1的距离h＝|AO→·n||n|＝24.2．也可以不用空间向量求解取B1C1的中点M，连结B1C交BC1于O′，取O′C1的中点N，连结MN，则MN⊥BC1，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，OM平行于平面ABC1D1，则O到平面ABC1D1的距离转化为M到平面ABC1D1的距离，即MN＝24，故选B.8．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是()A．－34B．－34C.34D.34[答案]D[解析]设正方形的边长为1，AC与BD交于点O，当折成120°的二面角时，AC12＝222＋222－2·22·22·cos120°＝32.又AC1→＝AD→＋DB→＋BC1→，∴|AC1→|2＝|AD→|2＋|DB→|2＋|BC1→|2＋2AD→·DB→＋2AD→·BC1→＋2DB→·BC1→＝1＋2＋1＋2×1×2cos135°＋2×2×1×cos135°＋2AD→·BC1→＝2AD→·BC1→＝2|AD→|·|BC1→|cos〈AD→，BC1→〉＝2cos〈AD→，BC1→〉．∴cos〈AD→，BC1→〉＝34.9．(2010·陕西宝鸡)已知正四面体A－BCD，设异面直线AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面BCD所成的角为γ，则()A．αβγB．αγβC．βαγD．γβα[答案]B[解析]如图，取底面BCD的中心为点O，连接AO，BO，易知∠ABO＝β，取BC的中点E，连接AE、OE，易知∠AEO＝γ，∵OBOE，∴0βγπ2，延长BO交CD于F，则BF⊥CD，又AO⊥CD，∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AB，即α＝π2，∴αγβ，故选B.10．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°[答案]C[解析]由条件知，CA→·AB→＝0，AB→·BD→＝0，CD→＝CA→＋AB→＋BD→.∴|CD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2AB→·BD→＋2CA→·BD→＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA→，BD→〉＝116＋96cos〈CA→，BD→〉＝(217)2，∴cos〈CA→，BD→〉＝－12，∴〈CA→，BD→〉＝120°，所以二面角的大小为60°.二、填空题11．(2010·上海奉贤区调研)在正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD中点，则异面直线AE与CF所成的角是________．(用反三角函数值表示)[答案]arccos23[解析]设正四面体的棱长为1，AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则AE→＝12(a＋b)，CF→＝12c－b，|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝12，∴AE→·CF→＝12(a＋b)·(12c－b)＝14a·c＋14b·c－12a·b－12|b|2＝－12，|AE→|2＝14(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝34，|CF→|2＝14|c|2＋|b|2－b·c＝34，∴|AE→|＝32，|CF→|＝32，cos〈AE→，CF→〉＝AE→·CF→|AE→|·|CF→|＝－23，因异面直线所成角是锐角或直角，∴AE与CF成角为arccos23.12．(2010·江西九江一中)空间一条直线l1与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，而另一条直线l2与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则sin2α＋sin2β＝________.[答案]1[解析]由正四棱柱的对称性知，若直线l1与各面成角都相等，则该直线一定经过或平行于四棱柱的一条体对角线，l2也一样，于是取对角线BD1研究，则α＝∠BD1B1，β＝∠BD1D，∴sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1.13．(2010·山东聊城联考)如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD→·AC→≠0；②∠BAC＝60°；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．其中正确的是________(填序号)．[答案]②③[解析]BD⊥平面ADC⇒BD⊥AC，①错；AB＝AC＝BC，②对；由DA＝DB＝DCAB＝AC＝BC知，③对④错．14．给出下列命题：①直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量为b＝(2,1，－12)，则l与m垂直．②直线l的方向向量为a＝(0,1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α.③平面α、β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β.④平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1.其中真命题的序号是________．[答案]①④[解析]①∵a·b＝(1，－1,2)·(2,1，－12)＝0，∴a⊥b，∴l⊥m，故①真；②∵a·n＝(0,1，－1)·(1，－1，－1)＝0，∴a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故②假；③∵n1与n2不平行，∴α与β不平行，∴③假；④AB→＝(－1,1,1)，AC→＝(－2,2,1)，由条件n⊥AB→，n⊥AC→，∴n·AB→＝0n·AC→＝0，即－1＋u＋t＝0－2＋2u＋t＝0，∴u＝1t＝0，∴u＋t＝1.三、解答题15．(2010·温州中学模拟)如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离；(2)方法1：过A作AF⊥PD，垂足为F.在RtPAD中，PA＝2，AD＝BC＝4，PD＝42＋22＝25，AF·PD＝PA·AD，∴AF＝2×425＝455，即点B到平面PCD的距离为455.方法2：如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z