2012年理数高考试题答案及解析江西高中数学练习试题

-1-2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。满分150分，考试时间120分钟。考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。参考公式：锥体体积公式V=13Sh，其中S为底面积，h为高。第I卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（）A．5B.4C.3D.22.下列函数中，与函数y=31x定义域相同的函数为（）A．y=1sinxB.y=1nxxC.y=xexD.sinxx3.若函数21(1)()lg(1)xxfxxx，则((10))ff=（）A.lg101B.bC.1D.04.若tan+1tan=4,则sin2=（）A．15B.14C.13D.125．下列命题中，假命题为（）A．存在四边相等的四边形不．是正方形B．1212,,zzCzz为实数的充分必要条件是12,zz为共轭复数C．若,xyR，且2,xy则,xy至少有一个大于1D．对于任意01,nnnnnNCCC都是偶数6．观察下列各式：221,3,abab3344554,7,11,ababab则1010ab-2-（）A．28B．76C．123D．1997．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则222PAPBPC=（）A．2B．4C．5D．108．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，509.样本（12,,,nxxx）的平均数为x，样本（12,,myyy）的平均数为()yxy，若样本（12,,,nxxx，12,,myyy）的平均数(1)zaxay，其中102，则n,m的大小关系为()A．nmB．nmC．nmD．不能确定10．如右图，已知正四棱锥SABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01),SExx截面下面部分的体积为(),Vx则函数()yVx的图像大致为-3-理科数学第Ⅱ卷注：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11.计算定积分121(sin)xxdx___________12.设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________13椭圆22221xyab（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.14下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______________.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题共5分。15.（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2＋y2-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为___________。15.（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。四．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和21()2nSnknkN,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列92{}2nna的前n项和Tn。17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知,sin()sin()444AbCcBa（1）求证：2BC（2）若2a，求△ABC的面积。18.（本题满分12分）如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。-4-（1）求V=0的概率；(2)求V的分布列及数学期望。19.（本题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=5，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面11ABC与平面BB1C1C夹角的余弦值。20.（本题满分13分）已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足()2MAMBOMOAOB.（1）求曲线C的方程；（2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。21.（本小题满分14分）若函数h(x)满足（1）h(0)=1，h(1)=0；（2）对任意0,1a，有h(h(a))=a；-5-（3）在（0,1）上单调递减。则称h(x)为补函数。已知函数11()()(1,0)1pppxhxpx（1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；（lbylfx）（2）若存在0,1m，使得h(m)=m，称m是函数h(x)的中介元，记1()pnNn时h(x)的中介元为xn，且1nniiSx，若对任意的nN，都有Sn12,求的取值范围；（3）当=0，0,1x时，函数y=h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。参考答案：一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.C2.D3.B4.D5.B6.C7.D8.B9.A10.A1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数.容易看出xy只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素.【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等.2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域.函数31yx的定义域为,00,,而答案中只有sinxyx的定义域为,00,.故选D.【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法.3.B【解析】本题考查分段函数的求值.因为101，所以10lg101f.所以2((10))(1)112fff.【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sincossincos1tan41tancossinsincossin22，所以.1sin22.【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式sintancos转化；另外，22sincos在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的-6-齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等.5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等.（验证法）对于B项，令121,9zmizmimR,显然128zzR，但12,zz不互为共轭复数，故B为假命题,应选B.【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等.6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法.观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11，18,29,47,76,123,…，故1010123.ab【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.7.D【解析】本题主要考查两点间的距离公式，以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想.不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令4ACBC,则42AB,CD1222AB,1||22PCPDCD,22||||PAPBADPD2222210,所以222||||101010||2PAPBPC.【点评】对于非特殊的一般图形求解长度问题，由于是选择题，不妨尝试将图形特殊化，以方便求解各长度，达到快速求解的目的.体现考纲中要求掌握两点间的距离公式.来年需要注意点到直线的距离公式.8.B【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为(0.5541.2)(0.360.9)0.9zxxyyxy.线性约束条件为50,1.20.954,0,0.xyxyxy即50,43180,0,0.xyxyxy作出不等式组50,43180,0,0xyxyxy表示的可行域,易求得点0,50,30,20,0,45ABC.-7-平移直线0.9zxy，可知当直线0.9zxy经过点30,20B,即30,20xy时,z取得最大值,且max48z（万元）.故选B.【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.9.A【解析】本题考查统计中的平均数，作差法比较大小以及整体思想.由统计学知识，可得1212,nmx