2013北京朝阳区高三上学期期末数学理试题答案

A1B1ECBD1C1AD北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（理工类）2013.1一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案AACBDCBA二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案3103a；98a1或0cos2445；85（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos()sincos1222xxxfx111sincos222xx…………………………………………2分21sin().242x……………………………………………4分所以函数()fx的最小正周期为2.…………………………………………6分由322242kxk，kZ，则52244kxk.函数()fx单调递减区间是5[2,2]44kk，kZ.………………………9分(Ⅱ)由x，得7244x.………………………………………11分则当342x，即54x时，()fx取得最小值212.…………………13分（16）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-ABCD中，因为11AB面11ADDA，所以111ABAD．……………………2分在矩形11ADDA中，因为12AA=AD=，所以11ADAD．所以1AD面11ABD．………………………………………………………………4分（Ⅱ）如图，在长方体1111ABCD-ABCD中，以1D为原点建立空间直角坐标系1Dxyz．依题意可知，11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2)DAD，(2,0,2)A，设AB的长为x，则11(0,,0),(2,,0)CxBx，2(0,,2),(0,,2)3CxEx．假设在棱1AA上存在点P，使得DP∥平面1BAE．设点P(2,0,)y，则(2,0,-2)DPy，(0,0,-2)APy．易知112(-2,-,2),(-2,,0)33BE=xAEx．设平面1BAE的一个法向量为(,,)abcn，则100BE=AE=nn，即1-2-2032-2+03axbc=axb=．………………………………………………7分令3b得，3,2axcx，所以3(,3,)2xxn．因为DP∥平面1BAE，等价于0DPn且DP平面1BAE．得32+(-2)02xyx，所以23y．所以4(0,0,-)3AP，43AP，所以AP的长为43．………………………………9分（Ⅲ）因为CD∥11AB，且点ECD，所以平面11ABE、平面11ABD与面11ABCD是同一个平面．由（Ⅰ）可知，1AD面11ABD，所以1(2,0,2)DA是平面11ABE的一个法向量．………………………………11分A1B1CBD1C1ADxyEz由（Ⅱ）可知，平面1BAE的一个法向量为3(,3,)2xxn．因为二面角11A-BE-A的余弦值为306，所以12212+330cos63229()2xxDAADxxnn，解得32x．故AB的长为32．…………………………………………………………14分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004abxy．………………4分（Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有2615C种情况．………………………………………………………………6分设事件A：随机抽取的2名同学来自同一组，则2242267()15CCPAC.所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715．…………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，的可能取值为0,1,2，则242662(0)155CPC，1142268(1)15CCPC，22261(2)15CPC．所以，的分布列为…………………………………………12分所以，2812012515153E．……………………………………13分（18）（本小题满分13分）解：函数的定义域为0,，222122()(1)axxafxaxxx．…………………………………………………1分012P25815115（Ⅰ）当2a时，函数1()2()2lnfxxxx，(1)0f，(1)2f．所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为02(1)yx，即220xy．………………………………………………………………………3分（Ⅱ）函数()fx的定义域为(0,)．（1）当0a时，2()20hxaxxa在(0,)上恒成立，则()0fx在(0,)上恒成立，此时()fx在(0,)上单调递减．……………4分（2）当0a时，244a，（ⅰ）若01a，由()0fx，即()0hx，得211axa或211axa；………………5分由()0fx，即()0hx，得221111aaxaa．………………………6分所以函数()fx的单调递增区间为211(0,)aa和211(,)aa，单调递减区间为221111(,)aaaa．……………………………………7分（ⅱ）若1a，()0hx在(0,)上恒成立，则()0fx在(0,)上恒成立，此时()fx在(0,)上单调递增．………………………………………………………………8分（Ⅲ））因为存在一个0[1,e]x使得00()()fxgx，则002lnaxx，等价于002lnxax.…………………………………………………9分令2ln()xFxx，等价于“当1,ex时，minaFx”.对()Fx求导，得22(1ln)()xFxx.……………………………………………10分因为当[1,e]x时，()0Fx，所以()Fx在[1,e]上单调递增.……………12分所以min()(1)0FxF，因此0a.…………………………………………13分另解：设2lnFxfxgxaxx，定义域为0,，22axFxaxx.依题意，至少存在一个0[1,e]x，使得00()()fxgx成立，等价于当1,ex时，max0Fx.………………………………………9分（1）当0a时，0Fx在1,e恒成立，所以Fx在1,e单调递减，只要max10FxFa，则不满足题意.……………………………………………………………………10分（2）当0a时，令0Fx得2xa.（ⅰ）当201a，即2a时，在1,e上0Fx，所以Fx在1,e上单调递增，所以maxee2FxFa，由e20a得，2ea，所以2a.……………………………………………………………………11分（ⅱ）当2ea，即20ea时，在1,e上0Fx，所以Fx在1,e单调递减，所以max1FxFa，由0a得20ea.…………………………………………………………………12分（ⅲ）当21ea，即22ea时，在2[1,)a上0Fx，在2(,e]a上0Fx，所以Fx在2[1,)a单调递减，在2(,e]a单调递增，max0Fx，等价于10F或e0F，解得0a，所以，22ea.综上所述，实数a的取值范围为(0,).………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0m时，直线l的方程为1x，设点E在x轴上方，由221,91xytx解得2222(1,),(1,)33ttEF,所以423tEF.因为△AEF的面积为142164233t，解得2t.所以椭圆C的方程为22192xy.…………………………………………………4分（Ⅱ）由221,921xyxmy得22(29)4160mymy，显然mR.…………………5分设1122(,),(,)ExyFxy,则121222416,2929myyyymm，………………………………………………6分111xmy,221xmy.又直线AE的方程为11(3)3yyxx，由11(3),33yyxxx解得116(3,)3yMx，同理得226(3,)3yNx.所以121266(2,),(2,)33yyBMBNxx,……………………9分又因为121266(2,)(2,)33yyBMBNxx12121212363644(3)(3)(4)(4)yyyyxxmymy1212212124(4)(4)364()16mymyyymyymyy2222216(436)164164(29)3216(29)mmmmm22264576641285769mmm0.…………………………13分所以BMBN,所以以MN为直径的圆过点B.…………………………………14分（20）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4.得到数表的不同特征值是32或4.3………………………………3分（Ⅱ）当3n时，数表为此时，数表的“特征值”为4.3……………………………………………………4分当4n时,数表为此时，数表的“特征值”为54.………………………………………………………5分当5n时,数表为此时，数表的“特征值”为65.…………………………………………………………6分猜想“特征值”为1nn.……………………………………………………………7分（Ⅲ）对于一个数表而言，2221,2,,nnnnn这n个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这n个较大的数在这个数表的不同行且不同列中.①当2221,2,,nnnnn这n个较大的数，至少有两个数在数表的同一行（或同一7145823691315910142671115348121621161116172227121318233891419244510152025列）中时，设,ab（ab）为该行（或列）中最大的两个数，则221anbnn，因为2332221(1)10,1(1)(1)nnnnnnnnnnnnn所以2211nnnnn，从而1.nn…………………………………………10分②当2221,2,,nnnnn这n个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时，当它们中的一个数与2nn在同行（或列）中，设a为与2nn在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个.则有22211annnnnnn.综上可得1nn.………………………………………………………………13分更多试题下载：（在文字上按住ctrl即可查看试题）高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】