2013届人教A版文科数学课时试题及解析27正弦定理和余弦定理B高中数学练习试题

1课时作业(二十七)B[第27讲正弦定理和余弦定理][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°2．在△ABC中，若2sinAsinBcos(B－A)，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形3．在△ABC中，下列关系式①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，且B是A与C的等差中项，则sinA＝________.能力提升5．在△ABC中，a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则C＝()A．150°B．120°C．60°D．30°6．在△ABC中，B＝π3，三边长a，b，c成等差数列，且ac＝6，则b的值是()A.2B.3C.5D.67．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π12B.π6C.π4D.π38．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝()A.32B.12C.33D.139．已知△ABC三边长分别为a，b，c且a2＋b2－c2＝ab，则C＝________.10．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝________.11．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(3a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．12．(13分)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝14.(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值．难点突破13．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.(1)求角C的大小；(2)求3sinA－cosB＋π4的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．2课时作业(二十七)B【基础热身】1．B[解析]S＝12BC·CA·sinC⇒33＝12×4×3×sinC⇒sinC＝32，注意到其是锐角三角形，故C＝60°.2．B[解析]依题意，sinAsinBcosAcosB，所以cos(A＋B)0,0A＋Bπ2，△ABC的形状是钝角三角形．3．C[解析]由正、余弦定理知①③一定成立，对于②，由正弦定理知sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)，显然成立．对于④，由正弦定理得sinB＝sinCcosA＋sinAcosC，则b＝csinA＋asinC不一定成立．4.12[解析]由已知B＝60°，由正弦定理得sinA＝asinBb＝32×3＝12.【能力提升】5．B[解析]用余弦定理，cosC＝a2＋b2－c22ab＝3＋12＋3－12－10223＋13－1＝－12.∴C＝120°.故选B.6．D[解析]a＋c＝2b，根据余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac＝a＋c2－2ac－b22ac，即12＝3b2－1212，解得b＝6.7．D[解析]∵(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，∴a2＋c2－b22ac·tanB＝32，即cosB·tanB＝sinB＝32.∴在锐角△ABC中，角B的值为π3.8．C[解析]将正弦定理代入已知等式，得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，∴3sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB，∵B为三角形内角，∴sinB≠0，∴cosA＝33.故选C.9.π3[解析]由条件得c2＝a2＋b2－ab，又c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，∴cosC＝12，C＝π3.10．30°[解析]由sinC＝23sinB得c＝23b，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－b2＋3bc2bc＝c2－3bc2bc＝c－3b2b＝23b－3b2b＝32，所以A＝30°.11．150°[解析]由m∥n，∴(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(3a＋c)＝0，由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c(3a＋c)，即a2＋c2－b2＝－3ac，再由余弦定理得cosB＝－32，∴B＝150°.312．[解答](1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×14＝4，∴c＝2，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.(2)∵cosC＝14，∴sinC＝1－cos2C＝1－142＝154，∴sinA＝asinCc＝1542＝158.∵ac，∴AC，故A为锐角，∴cosA＝1－sin2A＝1－1582＝78.∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝78×14＋158×154＝1116.【难点突破】13．[解答](1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.因为0Aπ，所以sinA0.从而sinC＝cosC.又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝π4.(2)由(1)知，B＝3π4－A，于是3sinA－cosB＋π4＝3sinA－cos(π－A)＝3sinA＋cosA＝2sinA＋π6.因为0A3π4，所以π6A＋π611π12.从而当A＋π6＝π2，即A＝π3时，2sinA＋π6取最大值2.综上所述，3sinA－cosB＋π4的最大值为2，此时A＝π3，B＝5π12.