2013届人教A版文科数学课时试题及解析64坐标系高中数学练习试题

1课时作业(六十四)[第64讲坐标系][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．在极坐标系中，点2，π3到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为________．2．已知极坐标平面内的点P2，－5π3，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为________．3．在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为3，π3，4，π6，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．4．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．能力提升5．已知圆的极坐标方程为ρ＝4sinθ，则该圆的圆心到直线ρcosθ－ρsinθ＝4的距离是________．6．以极坐标系中的点1，π6为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是________．7．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为________．8．在极坐标系中，设圆ρ＝32上的点到直线ρ(7cosθ－sinθ)＝2的距离为d，则d的最大值是________．9．在极坐标系中，若直线ρsinθ＋π4＝a被圆ρ＝2截得的弦长为23，则实数a＝________.10．在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρcosθ－2＝0，直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极坐标方程是________．11．直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝2，则l在直角坐标系下的方程是________．12．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．13．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．若直线ρsinθ＋π4＝22与直线3x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.14．(10分)极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcosθ－3＝0上的动点，B为直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．15．(13分)如图K64－1，点A在直线x＝4上移动，△POA为等腰直角三角形，其直角顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．2图K64－1难点突破16．(12分)在极坐标系中，已知△ABC三个顶点的极坐标为A(2,10°)，B(－4,220°)，C(3,100°)．(1)求△ABC的面积；(2)求△ABC的边AB上的高．3课时作业(六十四)【基础热身】1.3[解析]点2，π3的直角坐标为x＝ρcosθ＝2cosπ3＝1，y＝ρsinθ＝2sinπ3＝3.圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，圆心(1,0)到点(1，3)的距离为3.2.2，－2π3，(－1，－3)[解析]点P2，－5π3关于极点的对称点为2，－5π3＋π，即2，－2π3，且x＝2cos－2π3＝－2cosπ3＝－1，y＝2sin－2π3＝－2sinπ3＝－3.3．3[解析]由已知得∠AOB＝π3－π6＝π6，所以S△AOB＝12×|OA|×|OB|sinπ6＝3.4．x2＋y2－4x－2y＝0[解析]由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ⇒cosθ＝xρ，sinθ＝yρ，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ＝2yρ＋4xρ⇒ρ2＝2y＋4x⇒x2＋y2－4x－2y＝0.【能力提升】5．32[解析]直线ρcosθ－ρsinθ＝4化为直角坐标方程为x－y－4＝0，圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)，由点到直线的距离公式，得圆心(0,2)到直线x－y－4＝0的距离为32.6．ρ＝2cosθ－π6[解析]以极坐标系中的点1，π6为圆心，1为半径的圆的直角坐标系中的方程是：x－322＋y－122＝1，转化为极坐标方程是：ρ＝2cosθ－π6.7．一条直线和一个圆[解析]∵ρcosθ＝4sinθcosθ，∴cosθ＝0或ρ＝4sinθ，则θ＝kπ＋π2，k∈Z或x2＋y2＝4y，所以极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为：一条直线和一个圆．8．2[解析]将ρ(7cosθ－sinθ)＝2化为直角坐标方程，得7x－y－2＝0，圆心(0,0)到该直线的距离是d1＝27＋1＝12，结合图形知d的最大值是d1＋32＝2.9．±1[解析]由ρsinθ＋π4＝a⇒ρsinθ＋ρcosθ＝2a，化为直角坐标方程为x＋y＝2a，圆ρ＝2化为直角坐标方程为x2＋y2＝4，由圆的弦长公式222－d2＝23，得d＝1，即|2a|2＝1，故a＝±1.10．ρ＝2cosθ[解析]直线l的直角坐标方程为x＝2，所以|OM|＝2，圆半径为r＝1，圆心(1,0)，所以圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，化为极坐标方程得ρ＝2cosθ.11．x＋y－2＝0[解析]将ρsinθ＋π4＝2展开得ρsinθcosπ4＋ρcosθsinπ4＝2，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，化简得x＋y－2＝0.12.2，3π4[解析]由极坐标方程与普通方程的互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ知，这两条曲线的普通方程分别为x2＋y2＝2y，x＝－1.联立方程解得x＝－1，y＝1，再由互化公式将点(－1,1)4化成极坐标为2，3π4.13．－3[解析]直线ρsinθ＋π4＝22化为普通方程为x＋y＝1，所以有3＋k＝0⇒k＝－3.14．[解答]将互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ分别代入曲线和直线的极坐标方程，可得圆方程为(x＋1)2＋y2＝4，圆心(－1,0)，半径为2，直线方程为x＋y－7＝0，圆心到直线的距离d＝|－1－7|2＝42.所以|AB|的最小值为42－2.15．[解答]取O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，因为点A在直线ρcosθ＝4上，所以ρ0cosθ0＝4.①因为△POA为等腰直角三角形，且∠OPA＝π2，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0以及∠POA＝π4，所以ρ0＝2ρ，且θ0＝θ－π4.②把②代入①得点P的轨迹的极坐标方程为2ρcosθ－π4＝4，即ρ(cosθ＋sinθ)＝4.所以点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为3π4的直线．【难点突破】16．[解答](1)因为B(－4,220°)即为B(4,40°)，所以∠AOB＝40°－10°＝30°，∠AOC＝100°－10°＝90°，∠BOC＝100°－40°＝60°，所以S△OAB＝12|OA|·|OB|sin∠AOB＝12×2×4sin30°＝2，S△OBC＝12|OC|·|OB|sin∠BOC＝12×3×4sin60°＝33，S△OAC＝12|OA|·|OC|sin∠AOC＝12×2×3sin90°＝3.所以S△ABC＝S△OAB＋S△OBC－S△OAC＝2＋33－3＝33－1.(2)设△ABC的边AB上的高为h，因为|AB|＝22＋42－2×2×4cos30°＝25－23，S△ABC＝12|AB|h，所以h＝233－125－23＝8＋23，即△ABC的边AB上的高为8＋23.