2013届人教A版理科数学课时试题及解析26平面向量的数量积及应用高中数学练习试题

1课时作业(二十六)[第26讲平面向量的数量积及应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．设向量a＝(1,0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a－b与b垂直D．a∥b2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－a·aa·bb，则向量a与c的夹角为()A．0B.π6C.π3D.π23．已知A(2,0)，B(0,1)，O是坐标原点，动点M满足OM→＝λOB→＋(1－λ)OA→，并且OM→·AB→2，则实数λ的取值范围是()A．λ2B．λ65C.65λ2D．1λ24．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.655B.65C.135D.13能力提升5．平面上O，A，B三点不共线，设OA→＝a，OB→＝b，则△OAB的面积等于()A.|a|2|b|2－a·b2B.|a|2|b|2＋a·b2C.12|a|2|b|2－a·b2D.12|a|2|b|2＋a·b26．半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(PA→＋PB→)·PC→的值是()A．－2B．－1C．2D．无法确定，与C点位置有关7．设a、b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有()A．a⊥bB．a∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|b|8．已知两不共线向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则下列说法不正确．．．的是()A．(a＋b)⊥(a－b)B．a与b的夹角等于α－βC．|a＋b|＋|a－b|2D．a与b在a＋b方向上的投影相等9．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，QA→＋QB→＋QC→＝2BC→，RA→＋RB→＋RC→＝CA→，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶510．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．11．△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP→·OA→≤0，BP→·OB→≥0，则OP→·AB→的最小值为________．12．已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．13．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b夹角为45°，则使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围是________________________________________________________________________．14．(10分)已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈0，π2.(1)求：a·b及|a＋b|的值；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值．15．(13分)在▱ABCD中，A(1,1)，AB→＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若AD→＝(3,5)，求点C的坐标；(2)当|AB→|＝|AD→|时，求点P的轨迹．难点突破16．(12分)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)．(1)求证：向量a与向量b不可能平行；(2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值．3课时作业(二十六)【基础热身】1．C[解析]A项，∵|a|＝1，|b|＝122＋122＝22，∴|a|≠|b|，A错；B项，∵a·b＝1×12＋0×12＝12，B错；C项，∵a－b＝(1,0)－12，12＝12，－12，∴(a－b)·b＝12，－12·12，12＝14－14＝0，C对；D项，∵1×12－0×12≠0，∴a不平行于b.故选C.2．D[解析]∵a·c＝a·a－a·aa·bb＝a·a－a2a·ba·b＝a2－a2＝0，又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝π2，故选D.3．B[解析]根据向量减法的几何意义得AB→＝OB→－OA→，所以OM→·AB→2，即[λOB→＋(1－λ)OA→]·(OB→－OA→)2，即λOB→2－(1－λ)OA→2＋(1－2λ)OA→·OB→2，即λ－(1－λ)×42，解得λ65.4．A[解析]∵cosθ＝a·b|a||b|＝2×－4＋3×74＋9·16＋49＝55，∴a在b方向上的投影|a|cosθ＝22＋32×55＝655.【能力提升】5．C[解析]∵cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，∴sin〈a，b〉＝1－cos2〈a，b〉＝1－a·b|a||b|2＝|a|2|b|2－a·b2|a||b|，∴S△OAB＝12|OA→||OB→|sin〈OA→，OB→〉＝12|a||b|sin〈a，b〉＝12|a|2|b|2－a·b2，故选C.6．A[解析](PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→＝－2.7．A[解析]由题意知函数f(x)＝xa2－x2a·b＋a·b－xb2，又因为函数f(x)的图象是一条直线，所以a·b＝0，即a⊥b，所以选A.8．B[解析]a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则|a|＝|b|＝1，设a，b的夹角是θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等．9．B[解析]由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PC→＝AB→－PB→，即PA→＋PC→＝AB→＋BP→，4PA→＋PC→＝AP→，∴PC→＝2AP→，P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1∶3.10.7[解析]∵|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝7.11．3[解析]∵AP→·OA→＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，∵BP→·OB→＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴OP→·AB→＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.12.0，233[解析]如图，数形结合知β＝AB→，α＝AC→，|AB→|＝1，C点在圆弧上运动，∠ACB＝60°，设∠ABC＝θ，由正弦定理知|AB|sin60°＝|α|sinθ，∴|α|＝233sinθ≤233，当θ＝90°时取最大值．∴|α|∈0，233.13.－11－856λ－11＋856且λ≠－1[解析]由条件知，cos45°＝a·b|a|·|b|，∴a·b＝3，设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，∴cosθ＝a＋λb·λa＋b|a＋λb|·|λa＋b|0，∴(a＋λb)(λa＋b)0，∴λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)0，∴3λ2＋11λ＋30，∴－11－856λ－11＋856.若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反，∴此时存在k0，使a＋λb＝k(λa＋b)，∵a，b不共线，∴kλ＝1，λ＝k，∴k＝λ＝－1，∴－11－856λ－11＋856且λ≠－1.14．[解答](1)a·b＝cos3x2·cosx2－sin3x2·sinx2＝cos2x.|a＋b|＝cos3x2＋cosx22＋sin3x2－sinx22＝2＋2cos2x＝2cos2x.∵x∈0，π2，∴cosx≥0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.∵x∈0，π2，∴0≤cosx≤1.5①当λ0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾．②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－32，解得λ＝12.③当λ1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ1相矛盾．综上所述，λ＝12即为所求．15．[解答](1)设点C的坐标为(x0，y0)，又AC→＝AD→＋AB→＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x0－1，y0－1)＝(9,5)，∴x0＝10，y0＝6，即点C(10,6)．(2)设P(x，y)，则BP→＝AP→－AB→＝(x－1，y－1)－(6,0)＝(x－7，y－1)，AC→＝AM→＋MC→＝12AB→＋3MP→＝12AB→＋3(AP→－12AB→)＝3AP→－AB→＝(3(x－1)，3(y－1))－(6,0)＝(3x－9,3y－3)．∵|AB→|＝|AD→|，∴平行四边形ABCD为菱形，∴BP→⊥AC→，∴(x－7，y－1)·(3x－9,3y－3)＝0，即(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0.∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0(y≠1)．故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y＝1的两个交点．【难点突破】16．[解答](1)证明：假设a∥b，则2cosx(cosx＋sinx)＝sinx(cosx－sinx)，即2cos2x＋2sinxcosx＝sinxcosx－sin2x,1＋sinxcosx＋cos2x＝0，1＋12sin2x＋1＋cos2x2＝0，亦即2sin2x＋π4＝－3⇒sin2x＋π4＝－322.而sin2x＋π4∈[－1,1]，－322－1，矛盾．故假设不成立，向量a与向量b不平行．(2)a·b＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＋2sinxcosx＝cos2x－sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4，a·b＝1⇒sin2x＋π4＝22.又x∈[－π，0]⇒2x＋π4∈－7π4，π4，6∴2x＋π4＝－7π4或2x＋π4＝－5π4或2x＋π4＝π4，∴x＝－π或－3π4或0.