2013届人教A版理科数学课时试题及解析50抛物线B高中数学练习试题

1课时作业(五十)B[第50讲抛物线][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y2．抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝()A.52B.32C．－12D．－323．已知抛物线y2＝4x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是()A．1B．2C．4D．64．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，2]C．[0,2]D．(0,2)能力提升5．已知A，B是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，O是原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是()A．x＝pB．x＝3pC．x＝32pD．x＝52p6．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)均在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|7．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.928．若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有()A．0个B．1个C．2个D．4个9．已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．10．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM→＝MB→，则p＝________.11．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足AF→＝3FB→，则弦AB的中点P到准线的距离为________．12．(13分)在平面直角坐标系xOy中，设点F12，0，直线l：x＝－12，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹方程C；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．2图K50－1难点突破13．(12分)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA→·FB→0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．3课时作业(五十)B【基础热身】1．C[解析]点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P(x，y)到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0即y＝－2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p＝4，故所求的抛物线方程为x2＝8y.2．D[解析]根据分析把抛物线方程化为x2＝－212－ay，则焦参数p＝12－a，故抛物线的准线方程是y＝p2＝12－a2，则12－a2＝1，解得a＝－32.3．B[解析]焦点坐标是(1,0)，A(1,2)，B(1，－2)，|AB|＝4，故△OAB的面积S＝12|AB||OF|＝12×4×1＝2.4．B[解析]设点Q的坐标为y204，y0，由|PQ|≥|a|，得y20＋y204－a2≥a2，整理，得y20(y20＋16－8a)≥0，∵y20≥0，∴y20＋16－8a≥0，即a≤2＋y208恒成立．而2＋y208的最小值为2，所以a≤2.【能力提升】5．D[解析]A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由于焦点Fp2，0是抛物线的垂心，所以OA⊥BF.由此得y0x0×－y0x0－p2＝－1，把y20＝2px0代入得x0＝5p2，故直线AB的方程是x＝52p.6．C[解析]由抛物线定义，2x2＋p2＝x1＋p2＋x3＋p2，即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.7．A[解析]依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F12，0.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝122＋22＝172.8．C[解析]满足条件的圆的圆心C到F的距离到准线l的距离相等，故圆心C一定在抛物线上，又需满足|CM|＝|CF|，故点C在线段MF的垂直平分线l′上，而l′与抛物线有两个交点C1，C2，则分别以C1，C2为圆心，|C1F|，|C2F|为半径的两个圆都符合要求．9．y2＝4x[解析]设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，x1＋x2＝k＝2×2＝4，故y2＝4x.10．2[解析]过B作BE垂直于准线l于E，∵AM→＝MB→，∴M为AB中点，∴|BM|＝12|AB|.又斜率为3，∠BAE＝30°，∴|BE|＝12|AB|，∴|BM|＝|BE|，∴M为抛物线的焦点，∴p＝2.11.83[解析]设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AF|＝xA＋1，|BF|＝xB＋1，∴xA＋1＝3(xB＋1)．①由几何关系，xA－1＝3(1－xB)．②联立①②，得xA＝3，xB＝13，∴所求距离d＝xA＋xB2＋1＝83.12．[解答](1)依题意知，4点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∵|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y2＝2x(x0)．(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝x0－12＋y20，则|TS|＝2r2－d2＝2y20－2x0＋1，因为点M在曲线C上，所以x0＝y202，所以|TS|＝2y20－y20＋1＝2，是定值．【难点突破】13．[解答](1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足x－12＋y2－x＝1(x0)．化简得y2＝4x(x0)．(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．设l的方程为x＝ty＋m，由x＝ty＋m，y2＝4x，得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)0，于是y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m.①又FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2)，FA→·FB→0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y20.②又x＝y24，于是不等式②等价于y214·y224＋y1y2－y214＋y224＋10，⇔y1y2216＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋10.③由①式，不等式③等价于m2－6m＋14t2.④对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋10，即3－22m3＋22.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)，且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA→·FB→0，且m的取值范围是(3－22，3＋22)．