2013年全国高校自主招生数学模拟试卷17高中数学练习试题

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十七一、选择题(每小题6分，共36分)1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c0都成立的充要条件是(A)a，b同时为0，且c0(B)a2+b2=c(C)a2+b2c(D)a2+b2c2、给出下列两个命题：⑴设a，b，c都是复数，如果a2+b2c2，则a2+b2－c20；⑵设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c20，则a2+b2c2．那么下述说法正确的是(A)命题⑴正确，命题⑵也正确(B)命题⑴正确，命题⑵错误(C)命题⑴错误，命题⑵也错误(D)命题⑴错误，命题⑵正确3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|1125的最小整数n是(A)5(B)6(C)7(D)84、已知0b1，0aπ4，则下列三数：x=(sina)logbsina，y=(cosa)logbcosa，z=(sina)logbcosa(A)xzy(B)yzx(C)zxy(D)xyz5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(A)(n－2nπ，π)(B)(n－1nπ，π)(C)(0，π2)(D)(n－2nπ，n－1nπ)6、在平面直角坐标系中，方程|x+y|2a+|x－y|2b=1(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形二、填空题(每小题9分，共54分)1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为－1，1)和(2，2)，若直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是．2．已知x，y∈[－π4，π4]，a∈R且x3+sinx－2a=0，4y3+sinycosy+a=0则cos(x+2y)=．3．已知点集A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤(52)2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2(52)2}，则点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为．4．设0θπ，，则sinθ2(1+cosθ)的最大值是．5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sinα=．6．已知95个数a1，a2，a3，…，a95，每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是．三、解答题一、(本题满分25分)x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z21－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m|的最大值和最小值.二、(本题满分25分)将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。三、(本题满分35分)如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60,∠A∠C,∠A的外角平分线交圆O于E．证明:(1)IO=AE；(2)2RIO+IA+IC(1+3)R．四、(本题满分35分)给定平面上的点集P={P1，P2，…，P1994},P中任三点均不共线,将PABCOIE中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G)．(1)求m(G)的最小值m0．(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十七参考答案一．选择题(每小题6分，共36分)1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c0都成立的充要条件是(A)a，b同时为0，且c0(B)a2+b2=c(C)a2+b2c(D)a2+b2c解：asinx+bcosx+c=a2+b2sin(x+φ)+c∈[－a2+b2+c，a2+b2+c]．故选C．2、给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a2+b2c2，则a2+b2－c20．(2)设a，b，c都是复数，如果a2+b2－c20，则a2+b2c2．那么下述说法正确的是(A)命题(1)正确，命题(2)也正确(B)命题(1)正确，命题(2)错误(C)命题(1)错误，命题(2)也错误(D)命题(1)错误，命题(2)正确解：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a2+b2c2，成立时，a2+b2与c2都是实数，故此时a2+b2－c20成立；⑵当a2+b2－c20成立时a2+b2－c2是实数，但不能保证a2+b2与c2都是实数，故a2+b2c2不一定成立．故选B．3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|1125的最小整数n是(A)5(B)6(C)7(D)8解：(an+1－1)=－13(an－1)，即{an－1}是以－13为公比的等比数列，∴an=8(－13)n－1+1．∴Sn=8·1－(－13)n1+13+n=6+n－6(－13)n，6·13n1125，n≥7．选C．4、已知0b1，0aπ4，则下列三数：x=(sina)logbsina，y=(cosa)logbcosa，z=(sina)logbcosa的大小关系是(A)xzy(B)yzx(C)zxy(D)xyz解：0sinacosa1．logbsinalogbcosa0．∴(sina)logbsina(sina)logbcosa(cosa)logbcosa即xzy．选A．5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(A)(n－2nπ，π)(B)(n－1nπ，π)(C)(0，π2)(D)(n－2nπ，n－1nπ)解：设相邻两侧面所成的二面角为θ，易得θ大于正n边形的一个内角n－2nπ，当棱锥的高趋于0时，θ趋于π，故选A．6、在平面直角坐标系中，方程|x+y|2a+|x－y|2b=1(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形解：x+y≥0，x－y≥0时，(一、四象限角平分线之间)：(a+b)x+(b－a)y=2ab；x+y≥0，x－y0时，(一、二象限角平分线之间)：(b－a)x+(a+b)y=2ab；x+y0，x－y≥0时，(三、四象限角平分线之间)：(a－b)x－(a+b)y=2ab；x+y0，x－y0时，(二、三象限角平分线之间)：－(a+b)x+(a－b)y=2ab．四条直线在a≠b时围成一个菱形(非正方形)．选D．二、填空题(每小题9分，共54分)1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为－1，1)和(2，2)，若直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是．解：即x+my+m=0与y=13(x+1)+1的交点的横坐标2．∴x+m(13x+43)+m=0，(3+m)x=－7m．x=－7mm+32．－3m－23．2．已知x，y∈[－π4，π4]，a∈R且x3+sinx－2a=0，4y3+sinycosy+a=0则cos(x+2y)=．解：2a=x3+sinx=(－2y)3－sin(－2y)，令f(t)=t3+sint，t∈[－π2，π2]，f(t)=3t2+cost0，即f(t)在[－π2，π2]上单调增．∴x=－2y．∴cos(x+2y)=1．3．已知点集A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤(52)2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2(52)2}，则点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为．解：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点．4．设0θπ，，则sinθ2(1+cosθ)的最大值是．解：令y=sin2(1+cosθ)0，则y2=4sin22cos42=2·2sin22cos22cos22≤2(23)3．∴y≤439．当tan2=22时等号成立．5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sinα=．解：12条棱只有三个方向，故只要取如图中AA与平面ABD所成角即可．设AA=1，则AC=3，AC⊥平面ABD，AC被平面ABD、BDC三等分．于是sinα=33．6．已知95个数a1，a2，a3，…，a95，每个都只能取+1或－1两个值之一，A'B'C'D'DCBA(4,5)(3,4)O321321xy那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是．解：设有m个+1，(95－m)个－1．则a1+a2+…+a95=m－(95－m)=2m－95∴2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95)2－(a12+a22+…+a952)=(2m－95)2－950．取2m－95=±11．得a1a2+a1a3+…+a94a95=13．为所求最小正值．.三解答题一、(本题满分25分)x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z21－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m|的最大值和最小值.解：设m=a+bi(a，b∈R)．则△=z12－4z2－4m=16+20i－4a－4bi=4[(4－a)+(5－b)i]．设△的平方根为u+vi．(u，v∈R)即(u+vi)2=4[(4－a)+(5－b)i]．|α－β|=27，|α－β|2=28，|(4－a)+(5－b)i|=7，(a－4)2+(b－5)2=72，即表示复数m的点在圆(a－4)2+(b－5)2=72上，该点与原点距离的最大值为7+41，最小值为7－41．二、(本题满分25分)将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。解：由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－13)(1－15)(1－17)=48个。1000=48×20+48－8，105×20=2100.而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86．∴所求数为2186。三、(本题满分35分)如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60,∠A∠C,∠A的外角平分线交圆O于E．证明:(1)IO=AE；(2)2RIO+IA+IC(1+3)R．证明：∵∠B=60°，∴∠AOC=∠AIC=120°．∴A，O，I，C四点共圆．圆心为弧AC的中点F，半径为R．∴O为⊙F的弧AC中点，设OF延长线交⊙F于H，AI延长线交弧BC于D．由∠EAD=90°（内外角平分线）知DE为⊙O的直径．∠OAD=∠ODA．但∠OAI=∠OHI，故∠OHI=∠ADE，于是RtΔDAE≌RtΔHIO∴AE=IO．由ΔACH为正三角形，易证IC+IA=IH．由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IHOH=2R．设∠OHI=α，则0α30°．∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2R2sin(α+45°)又α+45°75°，故IO+IA+IC22R(6+2)/4=R(1+3)四、(本题满分35分)给定平面上的点集P={P1，P2，…，P1994},P中任三点均不共线,OBACFDEIHABCOIE将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G)．(1)求m(G)的最小值m0．(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端