2013年全国高校自主招生数学模拟试卷5高中数学练习试题

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷五一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cos=0有重根，则的弧度数为()A．6B．12或512C．6或512D．122．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是()A．[－62，62]B．(－62，62)C．(－233，233]D．[－233，233]3．不等式log2x－1+12log12x3+20的解集为A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)D．(2，4]4．设点O在ABC的内部，且有→OA+2→OB+3→OC=→0，则ABC的面积与AOC的面积的比为()A．2B．32C．3D．535．设三位数n=¯¯¯abc，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有()A．45个B．81个C．165个D．216个6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为()A．53B．253C．63D．263二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是；8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=；9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；10．设p是给定的奇质数，正整数k使得k2－pk也是一个正整数，则k=；11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，ABPOHCB1A1BCDAC1D1则n∑i=01ai的值是；12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？⑵他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，43)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．⑴求点P的轨迹方程；⑵若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．15．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=2x－tx2+1的定义域为[，]．⑴求g(t)=maxf(x)－minf(x)；⑵证明：对于ui∈(0，2)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)364．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cot=0有重根，则的弧度数为()A．6B．12或512C．6或512D．12解：由方程有重根，故14=4cos2－cot=0，∵02，2sin2=1，=12或512．选B．2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是()A．[－62，62]B．(－62，62)C．(－233，233]D．[－233，233]解：点(0，b)在椭圆内或椭圆上，2b2≤3，b∈[－62，62]．选A．3．不等式log2x－1+12log12x3+20的解集为A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)D．(2，4]解：令log2x=t≥1时，t－132t－2．t∈[1，2)，x∈[2，4)，选C．4．设点O在ABC的内部，且有→OA+2→OB+3→OC=→0，则ABC的面积与AOC的面积的比为()A．2B．32C．3D．53解：如图，设AOC=S，则OC1D=3S，OB1D=OB1C1=3S，AOB=OBD=1.5S．OBC=0.5S，ABC=3S．选C．5．设三位数n=¯¯¯abc，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有()A．45个B．81个C．165个D．216个解：⑴等边三角形共9个；⑵等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，ba2b．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，SB1C1OABCD6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C．6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为()A．53B．253C．63D．263解：AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面PAB⊥面POB．OH⊥PB，OH⊥面PAB，OH⊥HC，OH⊥PC，又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2．而OCH的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=POtan30=263．又解：连线如图，由C为PA中点，故VO－PBC=12VB－AOP，而VO－PHC∶VO－PBC=PHPB=PO2PB2(PO2=PH·PB)．记PO=OA=22=R，∠AOB=，则VP—AOB=16R3sincos=112R3sin2，VB－PCO=124R3sin2．PO2PB2=R2R2+R2cos2=11+cos2=23+cos2．VO－PHC=sin23+cos2112R3．∴令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos=33，∴OB=263，选D．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是；解：f(x)=a2+1sin(ax+)，周期=2a，取长为2a，宽为2a2+1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填2aa2+1．又解：∫10a2+1[1－sin(ax+)]dx=a2+1a∫20(1－sint)dt=2paa2+1．8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，ABPOHC则f(x)=；解：令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，f(1)=2．令y=1，得f(x+1)=2f(x)－2－x+2，即f(x+1)=2f(x)－x．①又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即f(x+1)=f(x)+1．②比较①、②得，f(x)=x+1．9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；解：设AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，则BN·BD1=AB2，BN=D1M=NM=33．A1M=AN=63．∴AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NAcos，12=23+23+13－223cos，cos=12．=60．10．设p是给定的奇质数，正整数k使得k2－pk也是一个正整数，则k=；解：设k2－pk=n，则(k－p2)2－n2=p24，(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，k=14(p+1)2．11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则n∑i=01ai的值是；解：1an+1=2an+13，令bn=1an+13，得b0=23，bn=2bn－1，bn=232n．即1an=2n+1－13，n∑i=01ai=13(2n+2－n－3)．12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；解：当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P使∠MPN更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM·KN=KP2，KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1．三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？⑵他连过前三关的概率是多少？解：⑴设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，由6n2n，知，n≤4．即最多能过4关．⑵要求他第一关时掷1次的点数2，第二关时掷2次的点数和4，第三关时掷3次的点数和8．第一关过关的概率=46=23；MNB1A1BCDAC1D1MNPKOxy第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数，有C24个(亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1－662=56；第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C38=876321=56种，不能过关的概率=5663=727，能过关的概率=2027；∴连过三关的概率=23562027=100243．14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，43)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．⑴求点P的轨迹方程；⑵若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．解：⑴设点P的坐标为(x，y)，AB方程：x－1+3y4=1，4x－3y+4=0，①BC方程：y=0，②AC方程：4x+3y－4=0，③∴25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|，25y2+16x2－(3y－4)2=0，16x2+16y2+24y－16=0，2x2+2y2+3y－2=0．或25y2－16x2+(3y－4)2=0，16x2－34y2+24y－16=0，8x2－17y2+12y－8=0．∴所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0，④或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0．⑤但应去掉点(－1，0)与(1，0)．⑵ABC的内心D(0，12)：经过D的直线为x=0或y=kx+12．⑥(a)直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；(b)k=0时，直线y=12与圆④切于点(0，12)，与双曲线⑤交于(±582，12)，即k=0满足要求．(c)k=±12时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．(c)k0时，k12时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－