2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题广东卷A高中数学练习试题

1图21俯视图侧视图正视图212013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A卷）解析本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．锥体的体积公式：13VSh．其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}SxxxxR，2{|20,}TxxxxR，则STA．{0}B．{0,2}C．{2,0}D．{2,0,2}【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A，5分到手，妙！2．函数lg(1)()1xfxx的定义域是A．(1,)B．[1,)C．(1,1)(1,)D．[1,1)(1,)【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C！3．若()34ixyii，,xyR，则复数xyi的模是A．2B．3C．4D．5【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3xy，模为5，选D.4．已知51sin()25，那么cosA．25B．15C．15D．25【解析】：考查三角函数诱导公式，51sin()sin(2+)sincos2225，选C.5．执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是A．1B．2C．4D．7【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可.6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是A．16B．13C．23D．1【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111=112=323V，选B.7．垂直于直线1yx且与圆221xy相切于第一象限的直线方程是图1是否结束输出si=i+1i≤ni=1,s=1输入n开始s=s+(i-1)2A．20xyB．10xyC．10xyD．20xy【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r，排除B、C；相切于第一象限排除D，选A.直接法可设所求的直线方程为：0yxkk，再利用圆心到直线的距离等于1r，求得2k.8．设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若//l，//l，则//B．若l，l，则//C．若l，//l，则//D．若，//l，则l【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B了.9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0)F，离心率等于21，则C的方程是A．14322yxB．13422yxC．12422yxD．13422yx【解析】基础题，1,2,3cab，选D.10．设a是已知的平面向量且0a，关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使abc；②给定向量b和c，总存在实数和，使abc；③给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；④给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc；上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A．1B．2C．3D．4【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量b有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+bca，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案：ACDCCBABDB.选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！3二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．设数列{}na是首项为1，公比为2的等比数列，则1234||||aaaa【解析】这题相当于直接给出答案了1512．若曲线2lnyaxx在点(1,)a处的切线平行于x轴，则a．【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2xyaxyaax13．已知变量,xy满足约束条件11103yxyx，则zxy的最大值是．【解析】画出可行域如图，最优解为1,4，故填5；（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为2cos．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为．【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程2211xy，易的则曲线C的参数方程为1cossinxy（为参数）15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，3,AB3BC，BEAC，垂足为E，则ED．【解析】本题对数值要敏感，由3,AB3BC，可知60BAC从而3,302AECAD，22212cos302DEAEADAEAD.【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）图3ECBDA4已知函数()2cos,12fxxxR．(1)求3f的值；(2)若33cos,,252，求6f．【解析】(1)2cos2cos133124f（2）33cos,,252，24sin1cos5，1=2cos2coscossinsin64445f．【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【解析】（1）苹果的重量在95,90的频率为20=0.450；（2）重量在85,80的有54=15+15个；（3）设这4个苹果中85,80分段的为1，100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在85,80和100,95中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P.5图4GEFABCD图5DGBFCAE【解析】这个基础题，注意格式！18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，,DE分别是,ABAC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥ABCF，其中22BC．(1)证明：DE//平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当23AD时，求三棱锥FDEG的体积FDEGV．【解析】（1）在等边三角形ABC中，ADAEADAEDBEC,在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，//DEBC,DE平面BCF，BC平面BCF，//DE平面BCF；（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AFBC①，12BFCF.在三棱锥ABCF中，22BC，222BCBFCFCFBF②BFCFFCFABF平面；（3）由（1）可知//GECF，结合（2）可得GEDFG平面.11111131332323323324FDEGEDFGVVDGFGGF【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足21441,,nnSannN且2514,,aaa构成等比数列．6(1)证明：2145aa；(2)求数列na的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1223111112nnaaaaaa．【解析】（1）当1n时，22122145,45aaaa，21045naaa（2）当2n时，214411nnSan，22114444nnnnnaSSaa2221442nnnnaaaa,102nnnaaa当2n时，na是公差2d的等差数列.2514,,aaa构成等比数列，25214aaa，2222824aaa，解得23a,由（1）可知，212145=4,1aaa21312aana是首项11a,公差2d的等差数列.数列na的通项公式为21nan.（3）1223111111111335572121nnaaaaaann11111111123355721211111.2212nnn【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知nS求na，na是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n，2n来做后，不会求1a，没有证明1a也满足通项公式.20．（本小题满分14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点0,0Fcc到直线:20lxy的距离为322．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线,PAPB，其中,AB为切点．(1)求抛物线C的方程；7(2)当点00,Pxy为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值．【解析】（1）依题意023222cd，解得1c（负根舍去）抛物线C的方程为24xy；（2）设点11(,)Axy,22(,)Bxy，),(00yxP，由24xy,即214yx,得y12x.∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为)(2111xxxyy，即2111212xyxxy.∵21141xy，∴112yxxy.∵点),(00yxP在切线1l上,∴10102yxxy.①同理，20202yxxy.②综合①、②得，点1122(,),(,)AxyBxy的坐标都满足方程yxxy002.∵经过1122(,),(,)AxyBxy两点的直线是唯一的，∴直线AB的方程为yxxy002，即00220xxyy；（3）由抛物线的定义可知121,1AFyBFy，所以121212111AFBFyyyyyy联立2004220xyxxyy，消去x得22200020yyxyy，2212001202,yyxyyyy0020xy8222200000021=221AFBFyyxyyy2200019=22+5=2+22yyy当012y时，AFBF取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2